Re: Formule N-R

Dit is een reactie op vraag 33905

Een paar van je beweringen kloppen niet.
Om te beginnen is de formule voor x1:
x1 = x0 - f(x0)/f'(x0)
en dus niet andersom.
En verder is de tangens van A (ik neem aan de hoek van de raaklijn met de x-as) gelijk aan f'(x0) en niet gelijk aan de breuk die je noemt.
Maar dan de uitleg over hoe je aan die formule voor x1 komt.
De algemene vergelijking van een lijn door het punt (a,b) met richtingscoëfficiënt m luidt:
y - b = m·(x - a)
Dus:
De vergelijking van de raaklijn in het punt (x0,f(x0)) luidt:
y - f(x0) = f'(x0)·(x - x0)
Deze lijn moet je snijden met de x-as, dus y=0.
Je vindt dan als oplossing voor x juist de gezochte formule!
Probeer het maar.


1: Ok...stap voor stap dan: f'(x0)= f(x0)/(x0-x1).
Dit geeft f(x0)/f'(x0)=x0-x1
Hoe kan het dan zijn dat x1= x0-f(x0)/f'(x0) ??
Van f(x0)/f'(x0)=x0-x1 haal je rechts de x0 weg en links
van de =-teken ook...dus d8 ik:
x1= f(x0)/f'(x0) - x0
Of bega ik hier een fout?

2: Boven staat dat de vergelijking van een lijn die een
grafiek op punt (a,b) raakt als volgt uit moet zien:
y-b=m·(x-a)
Kan ik aannemen dat met 'a' x0 wordt bedoelt? Het is
namelijk de x-waarde waar de raaklijn de grafiek
raakt. Wat wordt met de x dan bedoeld?? x1?? Dat zou dan
tog niet kloppen??
y=m·(x0-x1)+b
y-b=m·(x0-x1)
Dus als a=x0 en x=x1...heb je y-b=m(a-x)...en dit komt
niet overeen met de algemene vergelijking van een
raaklijn die u me gaf...
Ik vat het even niet meer...

An
Leerling bovenbouw havo-vwo - vrijdag 11 februari 2005

Antwoord

dag An,

Eerst maar eens je eerste berekening.
Je haalt rechts x0 weg.
Wat je overhoudt, is niet x1, maar -x1, toch?
dus
f(x0)/f'(x0) - x0 = -x1
ofwel
x1 = x0 - f(x0)/f'(x0)

Dan nog even over de algemene vergelijking van de lijn.
De formule die ik gaf, is geldig voor een lijn door het punt P met coördinaten (a,b) en met richtingscoëfficiënt m.
De x en de y die in deze formule zitten, zijn de coördinaten van een willekeurig punt van deze lijn.
De formule geeft dus het verband tussen deze coördinaten weer.
Nu wil je deze algemene formule gaan toepassen op de raaklijn door het punt P(x0, y0)
dus inderdaad: a = x0 en b = y0 = f(x0)
m is in dit geval f'(x0)
De vergelijking van de raaklijn is dus zoals boven gegeven:
y - f(x0) = f'(x0)·(x - x0)
Dit verband tussen x en y geldt voor alle punten op deze raaklijn.
Nu wil je deze raaklijn snijden met de x-as.
Dat betekent: y = 0.
Vul dit in in de vergelijking van de raaklijn.
Je houdt dan een vergelijking over met een onbekende x.
Deze x kun je oplossen, en het antwoord is:
x = x0 - f(x0)/f'(x0)
Dit is dus de x-coördinaat van het snijpunt van de raaklijn met de x-as.
En deze x-coördinaat hebben we dus x1 genoemd.
Vat je 'm nu?
groet,

vrijdag 11 februari 2005

©2001-2024 WisFaq