Parabool: raaklijn en richtlijn
OPgave:
We trekken de raaklijn T in een willekeurig punt q van
P  - y2= 2px
T snijdt de richtlijn in s. Bewijs dat we [qs] vanuit het brandpunt onder een rechte hoek te zien.
Ik heb dus eerst een figuur gemaakt.
De vgl van de raaklijn is y-yo=P/yo*(x-xo)
maar hoe moet het dan verder?
Ik dacht dus dat de raaklijn een hoek van 90° zou moeten maken en dat dus rico=tan90° maar dat bestaat toch helemaal niet?
Kan iemand me hierbij verder helpen aub?
Alvast bedankt voor de hulp,
wendy
3de graad ASO - zaterdag 13 november 2004
Antwoord
p heeft brandpunt f(1/2p,0) en richtlijn x=-1/2p.
Dus s heeft x-coordinaat -1/2p.
De y-coordinaat van s kun je bepalen door in y-yo=P/yo*(x-xo) x=-1/2p in te vullen.
We krijgen ys=p/y0(-1/2p-x0)+y0
Dus ys=(-1/2p2-px0+y02)/y0.
Omdat (x0,y0) op de parabool ligt is y02=2px0
We krijgen dus ys=(-1/2p2-px0+2px0)/y0=(px0-1/2p2)/y0.
Dus s(-1/2p,(px0-1/2p2)/y0)
We hadden f(1/2p,0) en q(x0,y0)
De bedoeling van de opgave is nu dat je laat zien dat lijnstuk fs loodrecht staat op lijnstuk fq.
Een richtingsvector van fq is (x0-1/2p,y0).
Een richtingsvector van fs is (-p,(px0-1/2p2)/y0).
Het inproduct van fq en fs is (x0-1/2p,y0)(-p,(px0-1/2p2)/y0)=
-px0+1/2p2+px0-1/2p2=0.
Dus fs en fq staan loodrecht op elkaar.
Overigens is een meetkundig bewijs van deze eigenschap aanmerkelijk korter:
Noem q' de projectie van q op de richtlijn.
Omdat q op de parabool ligt, ligt q op de middelloolijn van q'f, dus fq=fq'.
Volgens de raaklijneigenschap geldt hoek fqs=hoek q'qs
Driehoek sfq en sq'q hebben zijde sq gemeen.
Driehoek sfq en driehoek sq'q zijn dus congruent (zhz). Hieruit volgt hoek sfq=hoek sq'q=90°.
zaterdag 13 november 2004
©2001-2024 WisFaq
|