WisFaq!

Parabool: raaklijn en richtlijn

OPgave:

We trekken de raaklijn T in een willekeurig punt q van
P - y²= 2px
T snijdt de richtlijn in s. Bewijs dat we [qs] vanuit het brandpunt onder een rechte hoek te zien.

Ik heb dus eerst een figuur gemaakt.
De vgl van de raaklijn is y-yo=P/yo*(x-xo)
maar hoe moet het dan verder?
Ik dacht dus dat de raaklijn een hoek van 90° zou moeten maken en dat dus rico=tan90° maar dat bestaat toch helemaal niet?

Kan iemand me hierbij verder helpen aub?
Alvast bedankt voor de hulp,

wendy
13-11-2004

Antwoord

p heeft brandpunt f(¹/₂p,0) en richtlijn x=-¹/₂p.
Dus s heeft x-coordinaat -¹/₂p.
De y-coordinaat van s kun je bepalen door in y-yo=P/yo*(x-xo) x=-¹/₂p in te vullen.
We krijgen y_s=p/y0(-¹/₂p-x0)+y0
Dus y_s=(-¹/₂p²-px0+y0²)/y0.
Omdat (x0,y0) op de parabool ligt is y0²=2px0
We krijgen dus y_s=(-¹/₂p²-px0+2px0)/y0=(px0-¹/₂p²)/y0.
Dus s(-¹/₂p,(px0-¹/₂p²)/y0)
We hadden f(¹/₂p,0) en q(x0,y0)

De bedoeling van de opgave is nu dat je laat zien dat lijnstuk fs loodrecht staat op lijnstuk fq.
Een richtingsvector van fq is (x0-¹/₂p,y0).
Een richtingsvector van fs is (-p,(px0-¹/₂p²)/y0).
Het inproduct van fq en fs is (x0-¹/₂p,y0)(-p,(px0-¹/₂p²)/y0)=
-px0+¹/₂p²+px0-¹/₂p²=0.
Dus fs en fq staan loodrecht op elkaar.


Overigens is een meetkundig bewijs van deze eigenschap aanmerkelijk korter:
Noem q' de projectie van q op de richtlijn.
Omdat q op de parabool ligt, ligt q op de middelloolijn van q'f, dus fq=fq'.
Volgens de raaklijneigenschap geldt hoek fqs=hoek q'qs
Driehoek sfq en sq'q hebben zijde sq gemeen.
Driehoek sfq en driehoek sq'q zijn dus congruent (zhz). Hieruit volgt hoek sfq=hoek sq'q=90°.

hk
13-11-2004