Vierkantjes

Er is schijnbaar een formule voor het berekenen hoeveel vierkantjes er bijvoorbeeld in een schaakbord gaan (8·8 vierkantjes). Ik heb op internet gezocht, maar nergens de formule kunnen vinden.

Groetjes Jacco

Jacco
Leerling bovenbouw havo-vwo - dinsdag 12 oktober 2004

Antwoord

Beste Jacco,

Het is vaak in de wiskunde zo dat je eerst gemakkelijkere problemen (deelproblemen) moet oplossen voordat je iets zinnigs kunt zeggen over een moeilijker probleem ('eindprobleem'). Bij dit vraagstuk moet je eerst de algemene structuur in de gaten hebben. Die algemene structuur vind je pas als je gemakkelijk begint.

Beschouw daarom eerst eens een 1×1-"schaakbord". Hoeveel vierkantjes kun je daar in vinden? Natuurlijk maar 1 (=schaakbord zelf).

Laten we een 2×2-schaakbord pakken. Daar gaan 4 '1×1-schaakborden' in, en 1 '2×2-schaakbord' (=schaakbord zelf). Dus in totaal gaan er 4+1 = 5 vierkanten in.

Bij een 3×3-schaakbord zullen we dus ook wel weer met 1×1, 2×2 en 3×3-schaakborden te maken hebben. Hoeveel 1×1-schaakborden zie je? Natuurlijk 3² = 9. Hoeveel 2×2-schaakborden? 4. En één 3×3 weer.
Dus in totaal gaan er 9 + 4 + 1 = 14 vierkanten in.

Misschien zie je het structuurtje al?

Er past 1 (n-0)×(n-0)-schaakbord in (namelijk de hele structuur). Maak een plaatje met een willekeurige afmeting (die tekening is natuurlijk niet meer willekeurig als je 'm getekend hebt, maar het idee is dan duidelijk), en kleur de schaakborden met afmeting (n-1) rood, je ziet dan dat er 4 keer verschillende roodgekleurde structuren zijn.
Evenzo passen er 9 (n-2)×(n-2) structuren in.
16 (n-3)×(n-3) structuren, ... , n² keer (n-(n-1))×(n-(n-1)).



Uit het bovenstaande krijg je 1 + 4 + 9 + 16 + ... + n² voor het aantal vierkanten oftwel 1² + 2² + 3² + 4² + ... + n². Dit zou je ook m.b.v. het sommatieteken kunnen opschrijven.

De som van de eerste n natuurlijke kwadraten is gelijk aan:
$\frac{1}{6}$(n+1)(2n+1)) wat je met inductie kan bewijzen.

Ik hoop dat je 't snapt en dat je in het vervolg ook zelf op zo'n redenering kunt komen (door gemakkelijk te beginnen).

Groetjes,

Davy.

dinsdag 12 oktober 2004

Re: Vierkantjes

©2001-2024 WisFaq