Som van tangensen
Hoe kan je bewijzen dat de som van de tangensen van 45° en van 45° kleiner is dan de som van de tangensen van 44° en 46° , en dat dan weer kleiner is dan de som van de tangensen van 43° en 47° ?
Poiu
2de graad ASO - dinsdag 7 september 2004
Antwoord
Eerst een taalkundige opmerking : het meervoud van tangens is niet tangensen maar tangenten.
Ik ga ervan uit dat je de som- en verschilformules en de formules voor de dubbele hoeken kent.
tan 45° + tan 45° is uiteraard gelijk aan 2.
Schrijf tan 44° + tan 46° als sin 44°/cos 44° + sin 46°/cos 46°.
Zet nu op gelijke noemer.
In de teller kun je een somformule toepassen en zo bewijzen dat de teller steeds gelijk is aan 1 (sin 90°).
In de noemer vervang je cos 46° door een sinus (complementaire hoek) en vermenigvuldig je teller en noemer met 2, zodat je de formule voor de sinus een dubbele hoek terugvindt.
Je verkrijgt tenslotte 2/sin 88°
Zo kunt je ook tan 43° + tan 47° schrijven als 2/sin 86°.
Je weet dat de sinus van een hoek verkleint als de hoek zelf ook verkleint. Dus hoe meer de twee hoeken afwijken van 45°, hoe groter de som van de tangenten wordt.
dinsdag 7 september 2004
©2001-2024 WisFaq
|