WisFaq!

Som van tangensen

Hoe kan je bewijzen dat de som van de tangensen van 45° en van 45° kleiner is dan de som van de tangensen van 44° en 46° , en dat dan weer kleiner is dan de som van de tangensen van 43° en 47° ?

Poiu
7-9-2004

Antwoord

Eerst een taalkundige opmerking : het meervoud van tangens is niet tangensen maar tangenten.

Ik ga ervan uit dat je de som- en verschilformules en de formules voor de dubbele hoeken kent.

tan 45° + tan 45° is uiteraard gelijk aan 2.

Schrijf tan 44° + tan 46° als ^{sin 44°}/_{cos 44°} + ^{sin 46°}/_{cos 46°}.

Zet nu op gelijke noemer.
In de teller kun je een somformule toepassen en zo bewijzen dat de teller steeds gelijk is aan 1 (sin 90°).
In de noemer vervang je cos 46° door een sinus (complementaire hoek) en vermenigvuldig je teller en noemer met 2, zodat je de formule voor de sinus een dubbele hoek terugvindt.

Je verkrijgt tenslotte ²/_{sin 88°}

Zo kunt je ook tan 43° + tan 47° schrijven als ²/_{sin 86°}.

Je weet dat de sinus van een hoek verkleint als de hoek zelf ook verkleint. Dus hoe meer de twee hoeken afwijken van 45°, hoe groter de som van de tangenten wordt.

LL
7-9-2004