Carthesische vergelijkingen van rechten en vlakken
Hoe kan ik de carthesische vergelijking bepalen van de snijlijn van 2 de vlakken alfa en betha?
Alfa heeft als carthesisch vergelijking: x+y+z+1=0
Betha heeft als carthesische vergelijking: 2x-y+4z+1=0
Alvast bedankt
Evelie
2de graad ASO - dinsdag 17 augustus 2004
Antwoord
dag Evelien,
In de drie-dimensionale ruimte stelt een (lineaire) vergelijking altijd een vlak voor, en dus nooit een rechte. Er bestaat dus niet zoiets als een cartesische vergelijking van een snijlijn in $\mathbf{R}$3
In feite wordt de snijlijn juist voorgesteld door de combinatie van de twee vlakken, maar deze combinatie is uiteraard niet uniek: er zijn oneindig veel vlakkenparen met dezelfde snijlijn.
Wat je wel kunt maken, is een zogeheten vectorvoorstelling of parametervoorstelling van een rechte. Hiermee kun je de x-, y- en z-coördinaat van een willekeurig punt van de rechte uitdrukken in één parameter $\lambda$.
In jouw voorbeeld kun je zo'n parametervoorstelling bijvoorbeeld als volgt maken:
Kies z = $\lambda$
Dan is
x + y = -1 - $\lambda$
2x - y = -1 - 4$\lambda$
waaruit volgt:
3x = -2 - 5$\lambda$, dus x = -2/3 - 5/3$\lambda$
en y = -1 - $\lambda$ - x = -1/3 + 2/3$\lambda$
Overigens is ook zo'n parametervoorstelling niet uniek.
groet,
dinsdag 17 augustus 2004
©2001-2024 WisFaq
|