WisFaq!

Carthesische vergelijkingen van rechten en vlakken

Hoe kan ik de carthesische vergelijking bepalen van de snijlijn van 2 de vlakken alfa en betha?

Alfa heeft als carthesisch vergelijking: x+y+z+1=0
Betha heeft als carthesische vergelijking: 2x-y+4z+1=0

Alvast bedankt

Evelien
17-8-2004

Antwoord

dag Evelien,

In de drie-dimensionale ruimte stelt een (lineaire) vergelijking altijd een vlak voor, en dus nooit een rechte. Er bestaat dus niet zoiets als een cartesische vergelijking van een snijlijn in $\mathbf{R}$³

In feite wordt de snijlijn juist voorgesteld door de combinatie van de twee vlakken, maar deze combinatie is uiteraard niet uniek: er zijn oneindig veel vlakkenparen met dezelfde snijlijn.

Wat je wel kunt maken, is een zogeheten vectorvoorstelling of parametervoorstelling van een rechte. Hiermee kun je de x-, y- en z-coördinaat van een willekeurig punt van de rechte uitdrukken in één parameter $\lambda$.

In jouw voorbeeld kun je zo'n parametervoorstelling bijvoorbeeld als volgt maken:

Kies z = $\lambda$
Dan is
x + y = -1 - $\lambda$
2x - y = -1 - 4$\lambda$
waaruit volgt:
3x = -2 - 5$\lambda$, dus x = -²/₃ - ⁵/₃$\lambda$
en y = -1 - $\lambda$ - x = -¹/₃ + ²/₃$\lambda$

Overigens is ook zo'n parametervoorstelling niet uniek.
groet,

Anneke
17-8-2004