Een oplossing via een kegelvormige trechter

Hallo,

Een scheikundige oplossing wordt via een kegelvormige trechter in een cilindervormige kan gegoten.
Trechter hoogte=60cm , topdiameter=40cm
Cilindervormige kan diameter = 30 cm

Met welke snelheid stijgt het niveau in de kan wanneer de oplossing 30cm hoog staat in de trechter en zakt met een snelheid van 2cm per minuut in de trechter

ik heb deze vraag vroeger deels opgelost maar ik kan er niet meer aan uit , heb het wel geschetst en op mijn papier staat zo een verhouding :
h/60=r/20 dus r=1/3h
maar ik weet niet hoe ge aan die verhouding komt en ik weet ook niet hoe ik verder moet , maar heeft wel met afgeleide te maken , snelheid enzo.

dank bij voorbaat en gegroet ,
Dirk

Dirk
3de graad ASO - zondag 25 juli 2004

Antwoord

Beste Dirk,

De totale inhoud van de kegel gevuld tot en met 30 cm, is te berekenen via de inhoudsformule I_kegel = ¹/₃·$\pi$·r²·h. We weten de hoogte, maar wat is de straal? Dat kun je zien als je de volgende tekening maakt.

De driehoek met de rode rechthoekszijde-lengtes is gelijkvormig met de driehoek met de blauwe rechthoekszijde-lengtes. Dus de verhouding ^r/_h bij de rode driehoek moet gelijk zijn als bij de blauwe. Dus ²⁰/₆₀ = ^r/_h dus r = ¹/₃h.

Dus op 30 cm hoogte is de straal 10 cm. Dus de inhoud op 30 cm hoogte is ¹/₃·$\pi$·10²·30 cm³ = 1000$\pi$ cm³.

Per minuut gaat er 2 cm uit de kegel, dus de hoogte is uitgedrukt in de tijd h(t) = 30 - 2t waarbij t in minuten.
En aangezien r = ¹/₃h is r = 10 - ²/₃t. De inhoud de op tijdstip t nog in de kegel zit is I(t) = ¹/₃·$\pi$·(10 - ²/₃t)²·(30-2t).

Maar hoeveel zit er dan in de kan? Wel, het verschil van de begininhoud (toen de vloeistof nog op 30 cm hoogte in de trechter zat) en hoeveel er op het tijdstip t nog in de trechter zit. Dus de inhoud in de kan uitgedrukt in t is I_kan(t) = 1000$\pi$ - ¹/₃·$\pi$·(10 - ²/₃t)²·(30-2t).

Maar er werd gevraagd wat 't niveauverschil was, dus de hoogteverandering. De inhoud van een cilinder bereken je via $\pi$·r²·h. We weten dat r = 15 en h(t) is gevraagd, verder weten we de inhoud die is namelijk I_kan(t) = 1000$\pi$ - ¹/₃·$\pi$·(10 - ²/₃t)²·(30-2t), dus h(t) = ^{1000$\pi$ - 1/₃·$\pi$·(10 - 2/₃t)2·(30-2t)}/_225$\pi$.
Vereenvoudigd is dit h(t) = ⁸/₆₀₇₅t³ - ⁸/₁₃₅t² + ⁸/₉t.

Dus de verandering van de hoogte in functie van t (snelheid niveauverschil) is h'(t) = ⁸/₂₀₂₅t² - ¹⁶/₁₃₅t + ⁸/₉.

zondag 25 juli 2004

©2001-2024 WisFaq