De totale inhoud van de kegel gevuld tot en met 30 cm, is te berekenen via de inhoudsformule Ikegel = 1/3·$\pi$·r2·h. We weten de hoogte, maar wat is de straal? Dat kun je zien als je de volgende tekening maakt.
De driehoek met de rode rechthoekszijde-lengtes is gelijkvormig met de driehoek met de blauwe rechthoekszijde-lengtes. Dus de verhouding r/h bij de rode driehoek moet gelijk zijn als bij de blauwe. Dus 20/60 = r/h dus r = 1/3h.
Dus op 30 cm hoogte is de straal 10 cm. Dus de inhoud op 30 cm hoogte is 1/3·$\pi$·102·30 cm3 = 1000$\pi$ cm3.
Per minuut gaat er 2 cm uit de kegel, dus de hoogte is uitgedrukt in de tijd h(t) = 30 - 2t waarbij t in minuten.
En aangezien r = 1/3h is r = 10 - 2/3t. De inhoud de op tijdstip t nog in de kegel zit is I(t) = 1/3·$\pi$·(10 - 2/3t)2·(30-2t).
Maar hoeveel zit er dan in de kan? Wel, het verschil van de begininhoud (toen de vloeistof nog op 30 cm hoogte in de trechter zat) en hoeveel er op het tijdstip t nog in de trechter zit. Dus de inhoud in de kan uitgedrukt in t is Ikan(t) = 1000$\pi$ - 1/3·$\pi$·(10 - 2/3t)2·(30-2t).
Maar er werd gevraagd wat 't niveauverschil was, dus de hoogteverandering. De inhoud van een cilinder bereken je via $\pi$·r2·h. We weten dat r = 15 en h(t) is gevraagd, verder weten we de inhoud die is namelijk Ikan(t) = 1000$\pi$ - 1/3·$\pi$·(10 - 2/3t)2·(30-2t), dus h(t) = 1000$\pi$ - 1/3·$\pi$·(10 - 2/3t)2·(30-2t)/225$\pi$.
Vereenvoudigd is dit h(t) = 8/6075t3 - 8/135t2 + 8/9t.
Dus de verandering van de hoogte in functie van t (snelheid niveauverschil) is h'(t) = 8/2025t2 - 16/135t + 8/9.
Davy
25-7-2004