Limiet met de regel van de l`Hopital

hoe bereken je :

lim (x/ln(x+1))^(1/x) voor x-0.

Ik heb eerst via e^ln de limiet doorgeschoven over de e-macht om de (1/x)-macht in de limiet weg te krijgen. dan enkele keren de l'hopital toegepast.. maar ik raak er niet uit.
kunnen jullie me helpen?
alvast bedankt.
jos

jos
3de graad ASO - woensdag 26 mei 2004

Antwoord

Als je gegeven functie y noemt is

ln y = ¹/_x.ln(^x/_ln(x+1))

Schrijf als de breuk ^{ln(x/_ln(x+1))}/_x en pas de regel van de l'Hopital toe en je krijgt de breuk :

^{((x+1)ln(x+1)-x)}/_{(x(x+1)ln(x+1))}

Nogmaals de l'Hopital :

^ln(x+1)/_{((2x+1)ln(x+1)+x)} = ¹/_{((2x+1)+^x/ln(x+1))}

Neem de limiet voor x$\to$0 :

¹/_{(1+lim^x/ln(x+1))}

Deze laatste limiet is - met de regel van de l'Hopital - gelijk aan 1.

Dus we bekomen ¹/₂

lim(ln y) = ¹/₂

Dus lim y = e^1/₂ = √e

woensdag 26 mei 2004

©2001-2024 WisFaq