Re: Formule voor punten op een cirkel!

Dit is een reactie op vraag 23145

Ds = i=1ånDis = i=1ån(i-1)·(n-i) = i=1ån(-n+(n+1)i-i2) = -n2 + (n+1)·1/2n(n+1) - 1/6 n(n+1)(2n+1) = 1/6n3 - 1/2n2 + 1/3n = 1/6n(n-1)(n-2).
Kunt u precies uitleggen hoe dit komt?

melani
Leerling bovenbouw havo-vwo - zondag 23 mei 2004

Antwoord

Hoi Melanie,

Helaas is je email-adres niet goed doorgekomen, zodat ik je niet kan vragen welk onderdeel je precies niet snapt. Daarom zal ik nu voor elke gelijkheid de reden aangeven:
Ds = _i=1åⁿD_is = _i=1åⁿ(i-1)·(n-i) = _i=1åⁿ(-n+(n+1)i-i²) = -n² + (n+1)·¹/₂n(n+1) - ¹/₆ n(n+1)(2n+1) = ¹/₆n³ - ¹/₂n² + ¹/₃n = ¹/₆n(n-1)(n-2).

1) In de eerste gelijkheid wordt slechts gezegd dat we de totale verandering van s bepalen door de verandering voor elke nieuwe lijn (dat zijn er n, genummerd door de index i) bij elkaar op te tellen.
2) Bij de tweede gelijkheid wordt ingevuld dat we de verandering van s door het toevoegen van lijn 0-i al bepaalt hebben: de (i-1)·(n-i) lijnen van de punten {1,..., i-1} naar de punten uit {i+1,..., n} snijden de lijn van het nieuwe punt 0 naar het punt i elk precies één keer.
3) Bij de derde gelijkheid heb ik (i-1)·(n-i) uitgeschreven (haakjes wegwerken) tot -n+(n+1)i-i².
4) De vierde gelijkheid is de moeilijkste stap. De drie termen -n, (n+1)·i en -i² heb ik afzonderlijk gesommeerd. De eerste is eenvoudig, want die hangt niet van i af, dus je hebt gewoon n keer -n, dus -n². Voor de volgende is het handig om te weten dat _i=1åⁿ i = ¹/₂n(n+1). Dit is nog een vrij bekende formule. Zoiets kun je ook vinden voor _i=1åⁿ i². Je kunt het zelf afleiden zoals dat ook is gesuggereerd voor de uiteindelijke som van s zelf: een som van kwadraten is te schrijven als een derdegraads functie. De coefficienten kun je vinden door een paar (liefst met lage waarde) in te vullen. Zo vond ik dat _i=1åⁿ i² = = ¹/₃ n³ + ¹/₂ n² + ¹/₆ n = ¹/₆ n(n+1)(2n+1).
5) De vijfde gelijkheid is vervolgens weer een kwestie van haakjes uitwerken en termen met dezelfde macht in n bij elkaar vegen.
6) In de zesde en laatste gelijkheid tenslotte heb ik de gevonden veelterm weer in factor ontbonden. Dat is vrij makkelijk als je weet dat n=0,1,2 nulpunten zijn, want dan moeten er factoren n, n-1 en n-2 voorkomen...

Reageer gerust nog een keer als hiermee nog niet voldoende duidelijk is geworden wat je niet begrepen hebt. Gebruik wel een geldig email-adres, anders wordt je vraag standaard door het systeem verwijderd...
Met vriendelijke groet,

Guido Terra

gt
maandag 24 mei 2004

©2001-2024 WisFaq