1/(1+x4) integreren
Hoe integreer ik de functie 1/(1+x4)?
mrbomb
Student universiteit - donderdag 29 april 2004
Antwoord
Door te splitsen in partieelbreuken. Maar daarvoor moet je wel eerst 1+x4 kunnen ontbinden. x4+1 heeft duidelijk geen reële wortels, dus zal je het moeten kunnen schrijven als product van twee tweedegraadspolynomen.
x4+1 = (x2+ax+b)(x2+cx+d)
= x4 + x3(a+c) + x2(d+ac+b) + x(ad+bc) + bd
Daaruit haal je: a+c=0, d+ac+b=0, ad+bc=0, bd=1
ad+bc=0 en a+c=0, dus -cd+bc=0, dus c(b-d)=0.
Stel c=0, dan a=0, dan d+b=0 en db=1 dus d2=-1: kan niet.
Dus b=d en bd=1, dus b=d=±1.
Stel b=d=-1, dan 0=d+ac+b=-2-a2. Dus a2=-2, kan niet.
Dus b=d=1, dan 0=d+ac+b=2-a2. Dus a2=2, dus a=±Ö2 en c=-a.
Conclusie:
x4+1 = (x2+Ö2x+1)(x2-Ö2x+1)
Nu moet je enkel nog 1/(x4+1) schrijven als
(Ax+B)/(x2+Ö2x+1) + (Cx+D)/(x2-Ö2x+1), hier uit A,B,C en D oplossen (klassieke oefening op partieelbreuken).
Het antwoord bestaat dan zoals steeds uit een ln-deel en een Arctg-deel. Je kan je oplossing controleren met online primitiveren
Groeten,
Christophe.
Christophe
vrijdag 30 april 2004
©2001-2024 WisFaq
|