WisFaq!

1/(1+x⁴) integreren

Hoe integreer ik de functie ¹/_(1+x⁴)?

mrbombastico
29-4-2004

Antwoord

Door te splitsen in partieelbreuken. Maar daarvoor moet je wel eerst 1+x⁴ kunnen ontbinden. x⁴+1 heeft duidelijk geen reële wortels, dus zal je het moeten kunnen schrijven als product van twee tweedegraadspolynomen.

x⁴+1 = (x²+ax+b)(x²+cx+d)
= x⁴ + x³(a+c) + x²(d+ac+b) + x(ad+bc) + bd

Daaruit haal je: a+c=0, d+ac+b=0, ad+bc=0, bd=1
ad+bc=0 en a+c=0, dus -cd+bc=0, dus c(b-d)=0.
Stel c=0, dan a=0, dan d+b=0 en db=1 dus d²=-1: kan niet.
Dus b=d en bd=1, dus b=d=±1.
Stel b=d=-1, dan 0=d+ac+b=-2-a². Dus a²=-2, kan niet.
Dus b=d=1, dan 0=d+ac+b=2-a². Dus a²=2, dus a=±Ö2 en c=-a.

Conclusie:
x⁴+1 = (x²+Ö2x+1)(x²-Ö2x+1)

Nu moet je enkel nog 1/(x⁴+1) schrijven als
(Ax+B)/(x²+Ö2x+1) + (Cx+D)/(x²-Ö2x+1), hier uit A,B,C en D oplossen (klassieke oefening op partieelbreuken).

Het antwoord bestaat dan zoals steeds uit een ln-deel en een Arctg-deel. Je kan je oplossing controleren met online primitiveren

Groeten,
Christophe.

Christophe
30-4-2004