Oef toelatingsex burg
Opgave
--------
µ= 1/2 + i(Ö3)/2
Toon aan dat voor elke n Î  die geen zesvoud is,
µn + µ2n+ µ3n+ µ4n+ µ5n= -1
Vraag
--------
ik heb die µ omgezet naar zijn goniometrische vorm en dan een paar vb'tjes uitgerekend. Maar nu is de vraag hoe bewijs je dit?
mijn vb'tjes -- http://users.pandora.be/dadarock/7.gif
dank bij voorbaat
bert
3de graad ASO - donderdag 22 april 2004
Antwoord
Ik had het zo gedaan:
m= 1/2+i.1/2Ö3
= cos(p/3)+i.sin(p/3)
= exp(i.p/3)
(en met exp(x) bedoel ik ex)
Dus:
mn=exp(n.i.p/3)
m2n=exp(n.i.2p/3)=(exp(n.i.p/3))2
m3n=exp(n.i.3p/3)=(exp(n.i.p/3))3
m4n=exp(n.i.4p/3)=(exp(n.i.p/3))4
m5n=exp(n.i.5p/3)=(exp(n.i.p/3))5
Nu willen wij deze vijf bij elkaar optellen. Daartoe passen we een trucje toe, namelijk:
a+a2+a3+a4+a5
= (a+a2+a3+a4+a5).(1-a)/(1-a)
(dus je vermenigvuldigt feitelijk met het getal 1)
= (a-a6)/(1-a)
Nu hoeven we voor 'a' alleen maar exp(n.i.p/3) te substitueren:
som = (exp(n.i.p/3) - exp(n.i.6p/3))/(1-exp(n.i.p/3))
= (exp(n.i.p/3) - exp(n.i.2p))/(1-exp(n.i.p/3))
Nu is exp(n.i.2p) = cos(n.2p)+i.sin(n.2p) = 1 voor alle gehele n.
Dus som = (exp(n.i.p/3) - 1)/(1-exp(n.i.p/3))
en zoals je ziet is hier teller=-noemer dus de breuk is -1.
ECHTERRRRR... de noemer mag nooit NUL worden!! En wanneer zou de noemer nul kunnen worden? Wanneer exp(n.i.p/3) gelijk aan 1 wordt. En dàt gebeurt wanneer n=0 of n=6 of n=12 of n=18 of...
groeten,
martijn
mg
vrijdag 23 april 2004
©2001-2024 WisFaq
|