WisFaq!

Oef toelatingsex burg

Opgave
--------
µ= 1/2 + i(Ö3)/2

Toon aan dat voor elke n Î die geen zesvoud is,
µⁿ + µ²ⁿ+ µ³ⁿ+ µ⁴ⁿ+ µ⁵ⁿ= -1

Vraag
--------

ik heb die µ omgezet naar zijn goniometrische vorm en dan een paar vb'tjes uitgerekend. Maar nu is de vraag hoe bewijs je dit?

mijn vb'tjes -- http://users.pandora.be/dadarock/7.gif

dank bij voorbaat

bert
22-4-2004

Antwoord

Ik had het zo gedaan:
m= ¹/₂+i.¹/₂Ö3
= cos(p/3)+i.sin(p/3)
= exp(i.p/3)
(en met exp(x) bedoel ik e^x)

Dus:
mⁿ=exp(n.i.p/3)
m²ⁿ=exp(n.i.2p/3)=(exp(n.i.p/3))²
m³ⁿ=exp(n.i.3p/3)=(exp(n.i.p/3))³
m⁴ⁿ=exp(n.i.4p/3)=(exp(n.i.p/3))⁴
m⁵ⁿ=exp(n.i.5p/3)=(exp(n.i.p/3))⁵

Nu willen wij deze vijf bij elkaar optellen. Daartoe passen we een trucje toe, namelijk:

a+a²+a³+a⁴+a⁵
= (a+a²+a³+a⁴+a⁵).(1-a)/(1-a)
(dus je vermenigvuldigt feitelijk met het getal 1)
= (a-a⁶)/(1-a)

Nu hoeven we voor 'a' alleen maar exp(n.i.p/3) te substitueren:

som = (exp(n.i.p/3) - exp(n.i.6p/3))/(1-exp(n.i.p/3))
= (exp(n.i.p/3) - exp(n.i.2p))/(1-exp(n.i.p/3))

Nu is exp(n.i.2p) = cos(n.2p)+i.sin(n.2p) = 1 voor alle gehele n.

Dus som = (exp(n.i.p/3) - 1)/(1-exp(n.i.p/3))

en zoals je ziet is hier teller=-noemer dus de breuk is -1.

ECHTERRRRR... de noemer mag nooit NUL worden!! En wanneer zou de noemer nul kunnen worden? Wanneer exp(n.i.p/3) gelijk aan 1 wordt. En dàt gebeurt wanneer n=0 of n=6 of n=12 of n=18 of...

groeten,
martijn

mg
23-4-2004