Partieel integreren
hallo,
ik heb wat probleemkes met partieel integreren. Zouden jullie mij met deze oef. kunnen helpen???
1) òbgtanx*dx
2)òx3*e-x/2 *dx
joske
3de graad ASO - dinsdag 9 maart 2004
Antwoord
Ik neem aan dat je met het *principe* van partieel integreren op de hoogte bent:
òf'(x).g(x)dx = [f(x)g(x)] - òf(x)g'(x)dx
bgtan noemen wij overigens arctan
1e opgave:
schrijf voor òarctan(x)dx nu
ò1.arctan(x)dx
Deze "pakken we partieel aan", door eerst de 1 te primitiveren (wordt dus x) en daarna de arctan(x) te differentieren (wordt dus 1/(1+x2) ).
ò1.arctan(x)dx = [x.arctan(x)] - òx.1/(1+x2) dx
...  doe zelf ...
= [x.arctan(x) - 1/2.ln(1+x2)]
Dus de primitieve van arctan(x) is x.arctan(x) - 1/2.ln(1+x2)
opgave 2:
òx3.exp(-x2)dx
Bij deze opgave moet je een paar keer achter elkaar partieel integreren, waarbij je er telkens rekening mee moet houden (TRUC!) dat je het x.exp(-x2) gedeelte primitiveert en de rest van het stukje ervoor telkens differentieert.
Immers: alléén exp(-x2) is niet te primitiveren, maar van x.exp(-x2) is wèl wat te bakken als primitieve. Namelijk:
-1/2exp(-x2). (differentieer em ter controle maar weer eens terug)
Om je een klein stukje op weg te helpen:
òx3.exp(-x2)dx
= òx2.x.exp(-x2)dx
= [x2.-1/2.exp(-x2)] - ò2x.-1/2.exp(-x2)dx
= [-1/2x2exp(-x2)] + òx.exp(-x2)dx
en de integraal die je hier overgehouden hebt, doe je nogmaals partieel. Dat laat ik nu expres even aan jou over...
uiteindelijk zul je uitkomen op
(-1/2-1/2x2)exp(-x2)
groeten,
martijn
mg
dinsdag 9 maart 2004
©2001-2024 WisFaq
|