WisFaq!

Partieel integreren

hallo,
ik heb wat probleemkes met partieel integreren. Zouden jullie mij met deze oef. kunnen helpen???

1) òbgtanx*dx

2)òx³*e-x/2 *dx

joske
9-3-2004

Antwoord

Ik neem aan dat je met het *principe* van partieel integreren op de hoogte bent:

òf'(x).g(x)dx = [f(x)g(x)] - òf(x)g'(x)dx

bgtan noemen wij overigens arctan
1e opgave:
schrijf voor òarctan(x)dx nu
ò1.arctan(x)dx
Deze "pakken we partieel aan", door eerst de 1 te primitiveren (wordt dus x) en daarna de arctan(x) te differentieren (wordt dus 1/(1+x²) ).

ò1.arctan(x)dx = [x.arctan(x)] - òx.1/(1+x²) dx
... doe zelf ...
= [x.arctan(x) - ¹/₂.ln(1+x²)]

Dus de primitieve van arctan(x) is x.arctan(x) - ¹/₂.ln(1+x²)

opgave 2:
òx³.exp(-x²)dx

Bij deze opgave moet je een paar keer achter elkaar partieel integreren, waarbij je er telkens rekening mee moet houden (TRUC!) dat je het x.exp(-x²) gedeelte primitiveert en de rest van het stukje ervoor telkens differentieert.
Immers: alléén exp(-x²) is niet te primitiveren, maar van x.exp(-x²) is wèl wat te bakken als primitieve. Namelijk:
-¹/₂exp(-x²). (differentieer em ter controle maar weer eens terug)

Om je een klein stukje op weg te helpen:
òx³.exp(-x²)dx
= òx².x.exp(-x²)dx
= [x².-¹/₂.exp(-x²)] - ò2x.-¹/₂.exp(-x²)dx
= [-¹/₂x²exp(-x²)] + òx.exp(-x²)dx

en de integraal die je hier overgehouden hebt, doe je nogmaals partieel. Dat laat ik nu expres even aan jou over...
uiteindelijk zul je uitkomen op

(-¹/₂-¹/₂x²)exp(-x²)

groeten,
martijn

mg
9-3-2004