Raaklijn en richtlijn bij een ellips

Hallo, ik moet bewijzen dat als je in een willekeurig punt D op de ellips een raaklijn tekent en die raaklijn snijdt de richtlijn r:x=a²/c in het punt M en ik moet bewijzen dat het lijnstuk DM vanuit het brandpunt F(c,0) onder een rechte hoek gezien wordt, dus dat de hoek DFM= 90 graden en ik denk dat je moet werken me u rico's maar dan zit ik vast. Kan iemand mij helpen?

Tom Ge
2de graad ASO - donderdag 27 november 2003

Antwoord

Dag Tom,

Ik geef wat tussenresultaten van m'n eigen berekeningen, inderdaad gebaseerd op de rico's van FM en MD en uitgaande van de middelpuntsvergelijking van de ellips:
x²/a² + y²/b² = 1
Coördinaten van D : (p,q)
Raaklijn in D: (px)/a² + (qy)/b² = 1
Coördinaten van M : ( a²/c, (b²/q).(1 - p/c) )
Voor de rico's hebben we dan:

rico(FM) = (y_M - y_F)/(x_M - x_F)
rico(FD) = (y_D - y_F)/(x_D - x_F)

We vullen de coördinaten van M en D en die van F in beide uitdrukkingen in, waarbij we ook weten, dat
F = (c, 0)
dus y_F = 0 en x_F = c

Vermenigvuldiging van beide rico's geeft dan (na niet zo erg veel rekenwerk) als uitkomst -1
(daarbij moet je zeker gebruiken dat bij een ellips ook geldt, dat a² - c² = b²).
En dan staan FM en FD dus loodrecht op elkaar.

Ik hoop dat het met deze aanwijzingen lukt.
Succes!

donderdag 27 november 2003

©2001-2024 WisFaq