WisFaq!

Raaklijn en richtlijn bij een ellips

Hallo, ik moet bewijzen dat als je in een willekeurig punt D op de ellips een raaklijn tekent en die raaklijn snijdt de richtlijn r:x=a²/c in het punt M en ik moet bewijzen dat het lijnstuk DM vanuit het brandpunt F(c,0) onder een rechte hoek gezien wordt, dus dat de hoek DFM= 90 graden en ik denk dat je moet werken me u rico's maar dan zit ik vast. Kan iemand mij helpen?

Tom Geysemans
27-11-2003

Antwoord

Dag Tom,

Ik geef wat tussenresultaten van m'n eigen berekeningen, inderdaad gebaseerd op de rico's van FM en MD en uitgaande van de middelpuntsvergelijking van de ellips:
x²/a² + y²/b² = 1
Coördinaten van D : (p,q)
Raaklijn in D: (px)/a² + (qy)/b² = 1
Coördinaten van M : ( a²/c, (b²/q).(1 - p/c) )
Voor de rico's hebben we dan:

rico(FM) = (y_M - y_F)/(x_M - x_F)
rico(FD) = (y_D - y_F)/(x_D - x_F)

We vullen de coördinaten van M en D en die van F in beide uitdrukkingen in, waarbij we ook weten, dat
F = (c, 0)
dus y_F = 0 en x_F = c

Vermenigvuldiging van beide rico's geeft dan (na niet zo erg veel rekenwerk) als uitkomst -1
(daarbij moet je zeker gebruiken dat bij een ellips ook geldt, dat a² - c² = b²).
En dan staan FM en FD dus loodrecht op elkaar.

Ik hoop dat het met deze aanwijzingen lukt.
Succes!

dk
27-11-2003