Moeilijke limiet
Ik ben op zoek naar de oplossing van volgende limiet:
Limiet van n naar oneindig van volgende uitdrukking:
((3n/2)·a + Som van x=1 tot n/2 van (3^((n/2)-x))))/(Produkt van y=2 tot oneindig van (2^(((y-1)·n)/2y))
Kan iemand mij helpen aub???
Erik D
Ouder - woensdag 8 oktober 2003
Antwoord
TELLER
= 3n/2.a + $\sum$x=1n/2 [ 3(n/2-x) ]
= 3n/2.a + 3(n/2)$\sum$x=1n/2 [ 3-x ]
De som is nu ongeveer een eindige meetkundige reeks, namelijk als je eerst deelt door de eerste term. Je bekomt uiteindelijk dat
TELLER = (a+1/2).(√3)n - 1/2
Voor de noemer vinden we achtereenvolgens dat
NOEMER
= $\prod$y=2$\infty$ [ 2n(y-1)/(2y) ]
= 2 [ n $\sum$y=2$\infty$ [ (y-1)/(2y) ] ]
= 2 [ n ($\sum$y=2$\infty$ [ y/(2y) ]) - ($\sum$y=2$\infty$ [ 1/(2y) ]) ]
Er geldt dat voor de meetkundige rij
1+x+x2+... = 1/(1-x)
x2+x3+... = 1/(1-x) - 1 - x (1)
en door afleiding
1+2x+3x2+... = 1/(1-x)2
x+2x2+3x3+... = x/(1-x)2
2x2+3x3+... = x/(1-x)2 - x (2)
Beide sommen in de uitdrukking voor de noemer volgen nu door in (1) en (2) x=1/2 te stellen. Uiteindelijk bekom je het leuke resultaat dat
NOEMER = 2n
Bekijken we nu de combinatie van teller en noemer, dan kunnen we concluderen dat, aangezien √3 $<$ 2, de limiet nul zal zijn, onafhankelijk van de waarde van a (het was leuker geweest indien het grondtal in de teller groter was geweest dan 2, dan hadden we een uitzondering moeten maken voor het geval a=-1/2)
Als er iets onduidelijk is, zeg je het maar...
PS: Ik vermoed dat deze oefening een aardigheidje is van iemand, en echt geen achtergrond heeft he? Of wel? 
zondag 12 oktober 2003
©2001-2024 WisFaq
|
Re: Moeilijke Limiet