Gelijkvormigheidsafbeeldingen
Morgen is de grote dag: tentamen
Maar ik kom er nog niet helemaal uit...
Rotatie R(1,2) over 90° na vermenigvuldiging V met centrum (1,-1) met factor 3 na spiegeling S om L:y=x
Bepaal dekpunten en vereenvoudig de gegeven afbeelding zoveel mogelijk.
Ik heb het volgende gevonden:
beeld is (-3x+1,3y-1) dus dekpunt is (1/4,1/2)
maar hoe moet ik 'm vereenvoudigen?
charlo
Student hbo - zondag 7 september 2003
Antwoord
Hoi,
Je hebt dus 3 transformaties:
T1: asspiegeling om L:x=y
T2: vermenigvuldiging om a(1,-1) met factor k=3
T3: rotatie om b(1,2) over hoek q=90°
Je wil T=T3 o T2 o T1 berekenen en vereenvoudigen.
Welnu:
Voor v=T1(u) geldt: v=A.u met A=[[0 1][1 0]]
Voor v=T2(u) geldt: av=k.au zodat v=a+3.(u-a)
Voor v=T3(u) geldt: bv=B.bu zodat v=b+B.(u-b) met B=[[cos(q) -sin(q)][sin(q) cos(q)]]=[[0 -1][1 0]]
Zodat:
Voor v=(T2 o T1)(u) geldt: v=a+k.(A.u-a) en
voor v=(T3 o T2 o T1)(u) geldt: v=b+B.(a+k.(A.u-a)-b)
Met u(x,y) en v(x',y') wordt dit:
[x' y']=
[1 2]+[[0 -1][1 0]].([1 -1]+3.([[0 1][1 0]].[x y]-[1 -1])-[1 2])=
[1 2]+[[0 -1][1 0]].([0 -3]+3.([y x]-[1 -1]))=
[1 2]+[[0 -1][1 0]].([0 -3]+3.[y-1 x+1])=
[1 2]+[[0 -1][1 0]].[3y-3 3x])=
[1 2]+[-3x 3y-3])=
[1-3x 3y-1]
En dit is inderdaad precies wat jij had. De dekpunten vind je waar T(u)=u of [x y]=[1-3x 3y-1] en de oplossing hiervan is inderdaad d(1/4 1/2).
Wat het vereenvoudigen betreft, kunnen we T([x y])=[1 -1]+3.[[-1 0][0 1]][x y] schrijven.
Of met S=[[-1 0][0 1]]: T(u)=a+kSu.
We kunnen T dus zien als de samenstelling van 3 transformaties T = T'3 o T'2 o T'1 met
T'1:u®Su
T'2:u®ku
T'3:u®u+a
En deze zijn eenvoudiger dan de oorspronkelijke:
T'1 is een spiegeling om de Y-as
T'2 is een vermenigvuldiging vanuit o met k=3
T'3 is een verschuiving over a(1,-1)
Groetjes,
Johan
andros
donderdag 11 september 2003
©2001-2024 WisFaq
|