WisFaq!

Gelijkvormigheidsafbeeldingen

Morgen is de grote dag: tentamen
Maar ik kom er nog niet helemaal uit...

Rotatie R(1,2) over 90° na vermenigvuldiging V met centrum (1,-1) met factor 3 na spiegeling S om L:y=x

Bepaal dekpunten en vereenvoudig de gegeven afbeelding zoveel mogelijk.

Ik heb het volgende gevonden:
beeld is (-3x+1,3y-1) dus dekpunt is (1/4,1/2)
maar hoe moet ik 'm vereenvoudigen?

charlotte
7-9-2003

Antwoord

Hoi,

Je hebt dus 3 transformaties:
T₁: asspiegeling om L:x=y
T₂: vermenigvuldiging om a(1,-1) met factor k=3
T₃: rotatie om b(1,2) over hoek q=90°

Je wil T=T₃ o T₂ o T₁ berekenen en vereenvoudigen.

Welnu:
Voor v=T₁(u) geldt: v=A.u met A=[[0 1][1 0]]
Voor v=T₂(u) geldt: av=k.au zodat v=a+3.(u-a)
Voor v=T₃(u) geldt: bv=B.bu zodat v=b+B.(u-b) met B=[[cos(q) -sin(q)][sin(q) cos(q)]]=[[0 -1][1 0]]

Zodat:
Voor v=(T₂ o T₁)(u) geldt: v=a+k.(A.u-a) en
voor v=(T₃ o T₂ o T₁)(u) geldt: v=b+B.(a+k.(A.u-a)-b)

Met u(x,y) en v(x',y') wordt dit:
[x' y']=
[1 2]+[[0 -1][1 0]].([1 -1]+3.([[0 1][1 0]].[x y]-[1 -1])-[1 2])=
[1 2]+[[0 -1][1 0]].([0 -3]+3.([y x]-[1 -1]))=
[1 2]+[[0 -1][1 0]].([0 -3]+3.[y-1 x+1])=
[1 2]+[[0 -1][1 0]].[3y-3 3x])=
[1 2]+[-3x 3y-3])=
[1-3x 3y-1]

En dit is inderdaad precies wat jij had. De dekpunten vind je waar T(u)=u of [x y]=[1-3x 3y-1] en de oplossing hiervan is inderdaad d(1/4 1/2).

Wat het vereenvoudigen betreft, kunnen we T([x y])=[1 -1]+3.[[-1 0][0 1]][x y] schrijven.
Of met S=[[-1 0][0 1]]: T(u)=a+kSu.
We kunnen T dus zien als de samenstelling van 3 transformaties T = T'₃ o T'₂ o T'₁ met
T'₁:u®Su
T'₂:u®ku
T'₃:u®u+a

En deze zijn eenvoudiger dan de oorspronkelijke:
T'₁ is een spiegeling om de Y-as
T'₂ is een vermenigvuldiging vanuit o met k=3
T'₃ is een verschuiving over a(1,-1)

Groetjes,
Johan

andros
11-9-2003