Kans dat een punt binnen een vierkant ook binnen een cirkel ligt

In een vierkant met zijde 1 tekenen we een kwartcirkel met straal 1 en als middelpunt een van de hoekpunten. We kiezen zomaar een punt van het vierkant. De kans dat we binnen de kwartcirkel terecht komen is p/4.
Waarom? En hoe bepaal ik met behulp van simulatie op mijn GR de benadering van p

Anouk
Leerling bovenbouw havo-vwo - donderdag 4 september 2003

Antwoord

Hoi,

Wanneer we het over de kans hebben op een gebeurtenis, dan moeten we eigenlijk het aantal gunstige gevallen delen door het aantal mogelijke gevallen.

In deze context hebben we het over punten en een willekeurig punt (x,y) valt samen met een gegeven punt (x₀,y₀) als het er 'dicht' genoeg bijligt. Meer formeel: als er voldoende kleine dx en dy bestaan zodat x₀=x=x₀+dx en y₀=y=y₀+dy. Een punt valt binnen een oppervlak als het voldoende dicht bij een punt van dit oppervlak ligt. Dit om aan te geven dat de ruimte van mogelijkheden in deze context eigenlijk een oppervlak is.

Het 'aantal mogelijke gevallen' kunnen we dus voorstellen door de oppervlakte van het vierkant: 1.
Het 'aantal gunstige gevallen' door de oppervlakte van de cirkelhoek: p/4.
De kans: p/4/1=p/4

Wat het simuleren betreft zou je 2 willekeurige punten x en y tussen 0 en 1 moeten genereren. Dit zijn dan de coördinaten van een punt binnen het vierkant met oorsprong o en zijde 1.
De punten liggen binnen de cirkel met centrum o en straal 1 wanneer x²+y²1.
Je genereert nu een serie van n setjes {(x_i,y_i,c_i)} waarbij c_i=1 als x_i²+y_i²1 en anders c_i=0. Volgens een basisstelling van het kansrekenen zal sum(c_i:i=1..n)/n®p/4 voor n®¥.

Concreet kan je bijvoorbeeld n=100 of n=1000 nemen en tellen hoeveel keer k het willekeurige punt binnen de cirkel valt. De verhouding k/n benadert dan p/4 of 4k/n benadert p... Om meer dan een paar decimalen goed te krijgen, zal je al gauw miljoenen simulaties moeten maken... Niet de beste manier om p te berekenen

Groetjes,
Johan

PS: voor een alternatief: Eerdere vraag

andros
donderdag 4 september 2003

©2001-2024 WisFaq