Extremumproblemen

Hoe kan je dit berekenen?

Een rechthoek is beschreven in een cirkel met straal r. Voor welke waarde van de breedte is de omtrek van de cirkel maximaal?

(tip: gebruik de stelling van Pythagoras)

RufTer
3de graad ASO - maandag 21 april 2003

Antwoord

Ten eerste neem ik aan dat je niet, zoals je schrijft, de omtrek van de cirkel bedoelt maar de omtrek van de rechthoek. Bij gegeven straal r is de omtrek van de cirkel namelijk een vast getal, dus daar valt niet veel aan te rekenen.

Als we de breedte van de rechthoek aanduiden met y en de lengte met x, dan geldt volgens Pythagoras x² + y² = 4r², waaruit volgt dat y² = 4r² - x².
(de negatieve wortel vervalt, want y kan niet negatief zijn)
Hieruit volgt y = Ö(4r² - x²)

De omtrek van de rechthoek is 2x + 2y en dat kun je op grond van het voorafgaande schrijven als functie van x.
Je krijgt O(x) = 2x + 2Ö(4r² - x²)

Het maximum bepaal je via de afgeleide functie O'(x).

O'(x) = 2 - 2x/[Ö(4r² - x²).

Nulstelling geeft: x = Ö(4r² - x²) hetgeen na kwadratering oplevert x² = 4r² - x².

Hieruit vind je nu de gunstigste waarde van x en uit x² + y² = r² ook de bijpassende y.

MBL
maandag 21 april 2003

Re: Extremumproblemen

©2001-2024 WisFaq