WisFaq!

Extremumproblemen

Hoe kan je dit berekenen?

Een rechthoek is beschreven in een cirkel met straal r. Voor welke waarde van de breedte is de omtrek van de cirkel maximaal?

(tip: gebruik de stelling van Pythagoras)

RufTerKe
21-4-2003

Antwoord

Ten eerste neem ik aan dat je niet, zoals je schrijft, de omtrek van de cirkel bedoelt maar de omtrek van de rechthoek. Bij gegeven straal r is de omtrek van de cirkel namelijk een vast getal, dus daar valt niet veel aan te rekenen.

Als we de breedte van de rechthoek aanduiden met y en de lengte met x, dan geldt volgens Pythagoras x² + y² = 4r², waaruit volgt dat y² = 4r² - x².
(de negatieve wortel vervalt, want y kan niet negatief zijn)
Hieruit volgt y = Ö(4r² - x²)

De omtrek van de rechthoek is 2x + 2y en dat kun je op grond van het voorafgaande schrijven als functie van x.
Je krijgt O(x) = 2x + 2Ö(4r² - x²)

Het maximum bepaal je via de afgeleide functie O'(x).

O'(x) = 2 - 2x/[Ö(4r² - x²).

Nulstelling geeft: x = Ö(4r² - x²) hetgeen na kwadratering oplevert x² = 4r² - x².

Hieruit vind je nu de gunstigste waarde van x en uit x² + y² = r² ook de bijpassende y.

MBL
21-4-2003