\require{AMSmath}

Metalen bak

Bijgevoegde bijlage bevat de opgave over de waterstand in een metalen bak:





Deze bak is gevuld met water en wordt zo gekanteld, dat het water wegstroomt langs de rand bij E. Daarbij staat het water op een gegeven moment volgens de lijn EH. Zodra het water volgens de lijn EH staat, wordt de bak weer rechtop gezet.

• Bereken in cm hoe hoog het water dan in de bak staat.

Ik kwam uit op 60 cm en het antwoordenboek gaf aan 61 cm. Hieronder staat hoe ik het heb aangepakt en ter verduidelijking stuur ik separaat een foto van de opgave.

We hebben in ieder geval nodig de lengte van CD, waarbij CD = GH. We kunnen driehoek CDK vormen, waarbij CK = 3 dm en DK = 4 dm. Met de stelling van Pythagoras is dan CD te berekenen. Dus CK² + DK² = CD². Dus 3² + 4² = CD². Dus CD² = 25. Dus CD = 5 dm.

Ook kunnen we EH berekenen met de stelling van Pythagoras. We kunnen de driehoek EHL vormen, waarbij HL = 50 cm en EL = 90. Dus HL² + EL² EH². Dus 2500 + 8100 = 10600. Dus EH = 10600^0,5 = 102,9563014. We weten dat het water ergens tussen de zijden CD en GH staat. Dit kun je als volgt benaderen: 102,9563014 - 50 = 52,9560314. Aan weerszijden van rechthoek ABCH, resteert dan 52,9560314 / 2 = 26,4781507 cm. Dus CM en HN zijn dus 26,4781507 dm.
We kunnen nu de driehoeken CDO en GHP vormen. CM is 26,4781507 en CO = 4 dm. In de driehoek CDO kun je dan ook de driehoek CMQ maken.

Met gelijkvormigheid kun je dan berekenen dat de hoogte van MQ is: CM / CO · DO. Dus de hoogte is: 26,4781507 / 40 · 30 = 19,85861303.

Dus het water staat op een hoogte van 4 + 1,985851178 = 5,985851178 dm. Dat is in cm nauwkeurig dan 60 cm.

Joost
Iets anders - zaterdag 22 mei 2021

Antwoord

Hallo Joost,

Je berekent EH=102,9563... Dat is OK. Maar daarna geef je aan: "Dit kun je als volgt benaderen: 102,9563014-50=52,9560314'. Maar wat is 'Dit'? Welk lijnstuk bereken je door de lengte EH te verminderen met 50?

Ik zou het vraagstuk als volgt oplossen, zie onderstaande figuur:



Het water achter de rode vierhoek EHCD(in de schuine stand) verdeelt zich, wanneer de bak rechtop staat, over de groene rechthoek HPQR. Dat wil zeggen: het water achter driehoek GHR denk ik achter de even grote driehoek QCP, dat scheelt rekenwerk. De vraag is dan: wat is de lengte van PQ in het geval dat de oppervlakte van vierhoek rechthoek HPQR even groot is als de oppervlakte van vierhoek EHCD?

De oppervlakte van vierhoek EHCD berekenen we door de oppervlakte van driehoek CLD af te trekken van de oppervlakte van driehoek HLE:

Opp. HLE = ¹/₂·HL.HE = ¹/₂·9·5 = 22,5 dm²
Opp. CLD = ¹/₂·CL·LD = ¹/₂·4·3 = 6 dm²
Opp. EHCD = 22,5-6 = 16,5 dm²

Stel nu PQ=h (= hoogte rechthoek HPQR). Dan is:
CP = ⁴/₃·h
HP = 5+⁴/₃·h

De oppervlakte van rechthoek HPQR is dan:
Opp. HPQR = (5+⁴/₃·h)·h = ⁴/₃·h² + 5h

Gelijkstellen van de oppervlaktes levert een kwadratische vergelijking:

⁴/₃·h² + 5h = 16,5

Dit levert als oplossingen: h=-5,861... en h=2,111...

De eerste oplossing voldoet niet. Met h=2,111... wordt de waterhoogte 4+2,111... dm, afgerond is dit 6,1 dm ofwel 61 cm.

GHvD
zaterdag 22 mei 2021

Re: Metalen bak

©2001-2024 WisFaq