Als ik het goed begrijp wordt het dan voor de eerste drie gunstige op drie mogelijke, voor de tweede twee gunstige op drie mogelijke en voor de derde een gunstige op drie mogelijke: 3/3 · 2/3 · 1/3. Dit is de kans dat iedere jongen een verschillend meisjes uitkiest.
De meisjes hebben dan telkens een gunstige mogelijkheid uit de drie mogelijkheden: 1/3 · 1/3 · 1/3.
Dan die uitkomsten vermenigvuldigen aangezien ze beide moeten gelden om de drie reizen te winnen: 1/27 is dan de kans.
Ik hoop dat dit juist is, dan heb ik nog een vraag. Een bijkomende vraag is, wat de kans is dat er maar 2 reizen worden gewonnen.
Is dit dan voor de jongens: 3/3 · 2/3 · 1/3 en voor de meisjes 1/3 · 1/3 · 2/3 (als het meisje niet de juiste jongen kiest zijn er maar twee reizen). De kans hierop is dan 2/27. Dit dan nog eens maal twee aangezien de jongen ook een fout meisje kan kiezen? Dan wordt het 4/27. Alvast bedankt voor de goede hulp.
Ralph
3de graad ASO - zondag 16 december 2018
Antwoord
Hallo Ralph,
Jouw redenering voor de eerste vraag is correct, maar: 3/3·2/3·1/3·1/3·1/3·1/3 is toch niet gelijk aan 1/27?
Voor jouw tweede vraag is het wellicht handig om de combinaties jongen-meisje in een rooster weer te geven. Een X in een hokje geeft dan aan dat een jongen het betreffende meisje heeft gekozen, een O geeft aan dat een meisje de betreffende jongen heeft gekozen. Er worden dus twee reizen gewonnen wanneer twee keer een X en een O in hetzelfde hokje staan, zoals in het voorbeeld hieronder:
J1
J2
J3
M1
XO
M2
X
O
M3
XO
Meisje 1 en jongen 2 hebben elkaar gekozen, ook meisje 3 en jongen 3. Maar meisje 2 heeft jongen 3 gekozen, terwijl ze zelf door jongen 1 is gekozen. Geen match dus.
Laten we eerst jouw eerste vraag nog eens beantwoorden, nu met behulp van dit schema. Voor drie reizen moeten we berekenen hoeveel mogelijkheden er zijn om 3 keer een 'XO' in een hokje te plaatsen, maar wel zodanig dat in elke rij en elke kolom een 'XO' staat (want een jongen mag niet twee meisjes kiezen of andersom). Voor de eerste kolom hebben we 3 mogelijkheden, voor de tweede kolom nog 2 en voor de derde kolom dus nog 1. In totaal levert dit 3·2·1 gunstige mogelijkheden. We moeten ook bekijken hoeveel mogelijkheden er zijn voor de X-en en de O's afzonderlijk. In elke kolom moet een X staan (elke jongen kiest), hiervoor zijn dus 3·3·3 mogelijkheden. In elke rij moet een O staan, ook hiervoor zijn 3·3·3 mogelijkheden, in totaal dus 3·3·3·3·3·3 mogelijkheden. De kans op een gunstige mogelijkheid is (3·2·1)/(3·3·3·3·3·3). Dit is precies de berekening die jij ook hebt gevonden.
Nu de kans op twee reizen: We moeten twee koppels vinden, dus twee keer een 'XO' in de tabel plaatsen. Voor de eerste 'XO' hebben we 9 beschikbare vakken. De tweede 'XO' mag niet in dezelfde kolom of dezelfde rij, want ook nu mag een jongen of meisje niet twee keer kiezen. Er zijn dus nog 4 vakken over. Totaal aantal mogelijkheden: 9·4. Maar let op: dit aantal moeten we delen door twee, want wanneer we de volgorde van plaatsen omdraaien, hebben we natuurlijk hetzelfde koppel! Het werkelijk aantal mogelijkheden om twee koppels samen te stellen, is dus 9·2. Om het aantal gunstige mogelijkheden te vinden, moeten we dit aantal nog vermenigvuldigen met het aantal mogelijkheden om de laatste 'O' en de laatste 'X' te plaatsen. De 'O' komt in de overgebleven rij, de 'X' in de overgebleven kolom, maar zodanig dat deze niet in hetzelfde vak terecht komen. Lukt het om dit aantal mogelijkheden te bepalen, daarmee het aantal gunstige mogelijkheden te berekenen, en tot slot te delen door het totaal aantal mogelijkheden?
Dit is een reactie op vraag 87295 
