Tante Sidonia heeft een mooie villa geërfd van haar nicht en wil dit huis graag verkopen aan de hoogste bieder. Om geen domme dingen te doen vraagt ze raad aan Wiske, want elke keer als een koper zich aanbiedt moet ze beslissen of ze het bod aanvaardt of niet. Terugkomen op een eerder bod kan niet.
De geïnteresseerde kopers kennen en spreken elkaar niet. Bijgevolg doet elke koper een bod zonder te weten wat de voorgangers hebben geboden. Wanneer dit bod hoger is dan het bod van al de vorige kopers, dan noemt Wiske dit een succes, anders beschouwt ze het als een mislukking. Van zodra een bod wordt aangenomen mag er niet meer geboden worden en is het huis verkocht.
Hoe langer de villa echter te koop staat, hoe groter de kans dat een koper onder de verkoopprijs biedt die Sidonia in gedachte heeft. Daarom veronderstelt Wiske dat de kans dat het eerste bod het allerbeste is, gelijk is aan 1/2. Bij elk nieuw bod zakt deze kans respectievelijk naar 1/3, 1/4, 1/5, ... Omdat Sidonia niet oneindig lang kan wachten veronderstelt Wiske ook dat er maximaal 20 kopers mogen langskomen en bieden.
Vraag a. Na hoeveel biedingen dient Sidonia te beslissen om te verkopen opdat de kans dat er nog precies 1 hoger bod volgt maximaal is?
Vraag b. Wat is de maximale kans op succes?
Vraag c. Bedenk nu een strategie om het beste bod te kunnen anvaarden als er maximaal n mogelijke kopers zijn (i.p.v. 20), voor een natuurlijk getal n.
vraagj
3de graad ASO - maandag 11 september 2017
Antwoord
Hallo,
In een aanvullende mail geef je aan dat je de leerstof graag wilt oefenen aan de hand van dit type vragen, als voorbereiding van examens. Prima!
Ik geef eerst nog wat toelichting op de vraag, want zelf had ik best even tijd nodig om de achtergrond van vraag a te begrijpen, ik wil zeker weten dat jullie die achtergrond ook begrijpen.
Sidonia zou graag willen weten na welk bod er nog precies één hoger bod volgt. Als zij weet dat er nog maar één hoger bod volgt, dan hoeft zij niets anders te doen dan wachten op het eerste bod dat hoger is dan alle voorgaande, want dat is dan automatisch het hoogste bod dat gedaan wordt.
Helaas kan zij dit niet zeker weten, dus zoekt zij naar het bod waarbij de kans het grootst is dat nog maar één hoger bod volgt. Wanneer zij dan het eerstvolgende hogere bod accepteert, dan is de kans het grootst dat zij de hoogst mogelijke bod te pakken heeft. Vandaar de vraag: bij welk bod is de kans het grootst dat er nog precies één hoger bod volt.
Het begin is inderdaad het lastigste. Vandaar:
Tip: reken eens een concreet getallenvoorbeeld door. In dit geval: neem eens aan dat 15 mensen een bod hebben uitgebracht. Hoe groot is dan de kans dat het hoogste bod nog moet komen? Anders gezegd: hoe groot is de kans dat bieder 16 het hoogste bod zal uitbrengen, of bieder 17, of bieder 18, of bieder 19, of bieder 20?
(Let op: de kans dat bv bieder 17 met het hoogste bod zal komen, wordt bepaald door de kans dat bieder 17 het beste is en bieders 16, 18, 19 en 20 niet het het beste zijn.) Doe dit niet met de rekenmachine, maar noteer je antwoord in de vorm van breuken. Alleen zo zie je hoe een berekende kans tot stand komt. Breuken waar mogelijk natuurlijk wel vereenvoudigen!
Dan: we laten bod nr. 15 lopen en laten bieder 16 langskomen. Hoe groot is nu de kans dat er nog een hoger bod zal komen? Is deze kans groter of kleiner geworden? Opnieuw: niet met de rekenmachine, maar vergelijk de berekeningen in de vorm van breuken met elkaar.
Laat maar weten wat je uitkomst is, of waar je vastloopt, dan gaan we van daaruit verder.
Dit is een reactie op vraag 76442 
