Tante Sidonia heeft een mooie villa geërfd van haar nicht en wil dit huis graag verkopen aan de hoogste bieder. Om geen domme dingen te doen vraagt ze raad aan Wiske, want elke keer als een koper zich aanbiedt moet ze beslissen of ze het bod aanvaardt of niet. Terugkomen op een eerder bod kan niet.
De geïnteresseerde kopers kennen en spreken elkaar niet. Bijgevolg doet elke koper een bod zonder te weten wat de voorgangers hebben geboden. Wanneer dit bod hoger is dan het bod van al de vorige kopers, dan noemt Wiske dit een succes, anders beschouwt ze het als een mislukking. Van zodra een bod wordt aangenomen mag er niet meer geboden worden en is het huis verkocht.
Hoe langer de villa echter te koop staat, hoe groter de kans dat een koper onder de verkoopprijs biedt die Sidonia in gedachte heeft. Elke ‘ronde’ komt er een koper langs en die doet een bod. De kans dat dit bod hoger is dan alle vorige biedingen is gegeven in de opgave (1/2, 1/3, ...). Dus wanneer koper X een bod doet, dan is de kans dat dit bod hoger is dan alle vorige gelijk aan 1/X.
Elke ronde heeft dus een andere kans en deze kansen nemen af. Deze kansen hebben betrekking op de kopers. De som van de kansen moet niet 1 zijn aangezien koper X en koper Y het tot dan toe hoogste bod kunnen aanleveren. Deze gebeurtenissen zijn niet exclu sief dus de som van de kansen kan groter zijn dan 1. De kans die in de vraagstelling staat (vraag A) heeft echter betrekking op Sidonia, dus niet op de kopers.
De bedoeling van het vraagstuk is een strategie te vinden voor Sidonia om het hoogste bod van de 20 te kunnen aanvaarden, gebruikmakend van de gegeven kansen. Omdat Sidonia niet oneindig lang kan wachten veronderstelt Wiske ook dat er maximaal 20 kopers mogen langskomen en bieden.
Na hoeveel biedingen dient Sidonia te beslissen om te verkopen opdat de kans dat er nog precies 1 hoger bod volgt maximaal is?
Wat is de maximale kans op succes?
Bedenk nu een strategie om het beste bod te kunnen aanvaarden als er maximaal n mogelijke kopers zijn (i.p.v. 20), voor een natuurlijk getal
Daniel
3de graad ASO - zaterdag 3 oktober 2015
Antwoord
Hallo Danielle,
Als ik het goed begrijp, wil Sidonia het bod aannemen wanneer de kans maximaal is dat er nog maar één hoger bod zal volgen, ongeacht of dit laatste bod hoog of laag is. Ik vind dit criterium wel wat vreemd, omdat zij de hoogte van het bod zelf niet laat meewegen. Maar goed, laten we een poging wagen.
Stel, er zullen in totaal 20 bieders zijn, en 15 hebben inmiddels hun bod uitgebracht. De kans dat bieder 16 een hoger bod zal uitbrengen, is 1/16. De kans dat zijn bod lager zal zijn, is dan 15/16. Voor bieder 17 zijn deze kansen 1/17 en 16/17. In het lijstje hieronder zie je de kansen dat één van de bieders hoger zal bieden en de andere bieders lager zullen bieden (immers: we zoeken de kans dat slechts één bod hoger zal zijn):
De kans dat precies één bod hoger zal zijn, is de som van deze kansen:
We kunnen dit ook met andere getallen doen. Wanneer je uitgaat van n bieders, waarvan er inmiddels k een bod hebben uitgebracht, dan vind je deze formule:
Stel nu dat er a bieders zijn langsgeweest, en we twijfelen of we bieder nummer (a+1) zullen afwachten of toch maar stoppen. Dan bereken we de kans dat er nog precies één hoger bod komt na bieder a, en we berekenen de kans dat er nog precies één hoger bod komt na bieder (a+1):
En als we bieder (a+1) zouden afwachten:
Je ziet: het deel voor het optel-teken is gelijk. De bedoelde kans na bieder (a+1) is groter dan deze kans na bieder a wanneer geldt:
Stel bieder 3 is langsgeweest, en we vragen ons af of we bieder 4 zullen afwachten. We vullen in a=3. Dan is:
Dit is groter dan 1, dus wachten we bieder 4 af. Na bieder 6 vinden we:
Er zijn minder termen overgebleven maar de som is nog steeds groter dan 1, dus gaan we door naar bieder 7. Na deze bieder vinden we:
Nu is de som kleiner dan 1, dus de kansen gaan afnemen. We gaan niet door naar bieder 8 maar accepteren het bod van bieder 7.
Een algemene strategie bij n bieders is dan: accepteer het bod van bieder a, waarbij a de grootste waarde is waarvoor formule 1 waar is.
Je vraagt ook naar de maximale kans op succes. Wiske noemt een succes: een koper brengt een hoger bod uit dan alle vorige kopers. Deze kans is gegeven: voor koper 2 is dit 1/2, voor koper 3 is dit 1/3 enz. De maximale kans op dit succes is zodoende 1/2.
Naschrift: Ik heb nog eens nagedacht wat je precies met deze vraag wilde bereiken. Wellicht bedoel je het volgende: Wanneer je het bod hebt gehad waarna nog precies één hoger bod volgt, dan moet dit ene hogere bod het hoogste bod zijn dat zal worden uitgebracht. Helaas kan je niet zeker weten welk bod dit zal zijn, maar volgens bovenstaande strategie kan je wel berekenen bij welk bod de kans het grootst is dat nog precies één hoger bod volgt. In het getallenvoorbeeld is dit bod nummer 7. Nu moet je niet bod nummer 7 accepteren, maar het eerstvolgende bod na bod nummer 7 dat hoger is dan alle voorgaande biedingen. Dan heb je de grootste kans dat je daadwerkelijk het hoogste bod treft dat uitgebracht zou worden door deze 20 bieders.
Tante Sidonia heeft een mooie villa geërfd (2)
