Ik ben niet tevreden met uw antwoord op mijn vraag van 2 november (Basel-probleem, Euler). Het artikel van Klaas Pieter Hart gaat onder "De aanpak van Euler °°°" vanaf regel 10 (1,-1,2,-2,…) in de mist. Dus, leg mij toch liever uit met getallen hoe u aan de gevraagde benaderingen (tot 3,141592) komt. Met herhaalde dank.
S. Ver
Iets anders - zondag 13 november 2016
Antwoord
Ik zou graag horen waar het artikel "de mist in gaat".
Wat de berekeningen betreft: Maple laat bijna hetzelfde beeld zien als Mathematica: 3.098867795 bij 22 en 3.100697302 bij 23; echter achtereenvolgens 3.139996710, 3.139999373 en 3.140002027 bij 598, 599 en 600. Dan weer wel 3.140999658 bij 1610 en 3.141000026 bij 1611. Het verschil bij 599 kan diverse oorzaken hebben: verschillen hoe beide programma's met significante cijfers omgaan, andere wortelfunctie, ...
Ik ken Mathematica niet maar wellicht kunt u aangeven met hoeveel significante cijfers moet worden gerekend. Dat wordt bij lange sommen als deze belangrijk: bij vijf significante cijfers is 1+0.000001 gelijk aan 1; bij n=1000 zou U daar al last van kunnen krijgen.
De afschattingen uit het vorige antwoord helpen bij het schatten van de n die nodig is om, bijvoorbeeld, zes correcte decimalen achter de komma te krijgen: vermenigvuldig met 6:
\frac6{n+1}\le \pi^2-6P_n\le\frac6n
Ontbind \pi^2-6P_n: er komt (\pi-\sqrt{6P_n})(\pi+\sqrt{6P_n}) en dus
Als je bijvoorbeeld wilt weten wanneer \sqrt{6P_n} boven de 3.14159 uitkomt dan moet \pi-\sqrt{6P_n} kleiner zijn dan 10^{-6} (als je de volgende decimaal nog niet weet; als je weet dat die 2 is dan is kleiner dan 2\times10^{-6} goed genoeg). Dan moet je de ongelijkheid \frac{30}{31n}<10^{-6} oplossen (dat geeft n\ge967742); voor die n is het verschil zeker klein genoeg. Aan de andere kant, als je \frac{60}{63(n+1)}>10^{-6} oplost (n\le952380) dan weet je wanneer het verschil zeker niet klein genoeg is. Ergens in het zo verkregen interval ligt dan het omslagpunt. Die getallen liggen nu in de buurt van een miljoen; bij kwadrateren komen we dan in de buurt van 10^{12} zorg dat Mathematica in 24 significante cijfers rekent (de vuistregel is dat op de achtergrond met twee keer zo veel significante cijfers gewerkt moet worden als in het antwoord gewenst zijn).
Naschrift: Maple berekent/benadert de som P_n (voor grote n) niet door optellen maar met behulp van de \Psi-functie, zie onderstaande link. Met de volgende truc kun je forceren dat er echt opgeteld wordt:
P_n=\sum_{k=1}^n\frac1{(n+1-k)^2}
(achterstevoren dus) in ieder geval `herkent' Maple zo niet de som en grijpt dan niet naar \Psi.
Dit is een reactie op vraag 83190 
