WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Re: Pi kwadraat gedeeld door 6

Dit is een reactie op vraag 83190

Ik ben niet tevreden met uw antwoord op mijn vraag van 2 november (Basel-probleem, Euler). Het artikel van Klaas Pieter Hart gaat onder "De aanpak van Euler °°°" vanaf regel 10 (1,-1,2,-2,…) in de mist. Dus, leg mij toch liever uit met getallen hoe u aan de gevraagde benaderingen (tot 3,141592) komt. Met herhaalde dank.
S. Ver
Iets anders - zondag 13 november 2016

Antwoord

Ik zou graag horen waar het artikel "de mist in gaat".

Wat de berekeningen betreft: Maple laat bijna hetzelfde beeld zien als Mathematica: $3.098867795$ bij $22$ en $3.100697302$ bij $23$; echter achtereenvolgens $3.139996710$, $3.139999373$ en $3.140002027$ bij $598$, $599$ en $600$. Dan weer wel $3.140999658$ bij $1610$ en $3.141000026$ bij $1611$. Het verschil bij $599$ kan diverse oorzaken hebben: verschillen hoe beide programma's met significante cijfers omgaan, andere wortelfunctie, ...

Ik ken Mathematica niet maar wellicht kunt u aangeven met hoeveel significante cijfers moet worden gerekend. Dat wordt bij lange sommen als deze belangrijk: bij vijf significante cijfers is $1+0.000001$ gelijk aan $1$; bij $n=1000$ zou U daar al last van kunnen krijgen.

De afschattingen uit het vorige antwoord helpen bij het schatten van de $n$ die nodig is om, bijvoorbeeld, zes correcte decimalen achter de komma te krijgen: vermenigvuldig met $6$:
$$
\frac6{n+1}\le \pi^2-6P_n\le\frac6n
$$Ontbind $\pi^2-6P_n$: er komt $(\pi-\sqrt{6P_n})(\pi+\sqrt{6P_n})$ en dus
$$
\frac1{n+1}\frac6{\pi+\sqrt{6P_n}}\le\pi-\sqrt{6P_n}\le\frac1n\frac6{\pi+\sqrt{6P_n}}
$$Je kunt $\pi+\sqrt{6P_n}$ afschatten: voor $n\ge23$ geldt $3.1\le\sqrt{6P_n}\le\pi$ en dus $6.2\le\pi+\sqrt{6P_n}\le2\pi\le6.3$. Hiermee vinden we
$$
\frac{60}{63}\frac1{n+1}\le \pi-\sqrt{6P_n}\le \frac{30}{31}\frac1n
$$Als je bijvoorbeeld wilt weten wanneer $\sqrt{6P_n}$ boven de $3.14159$ uitkomt dan moet $\pi-\sqrt{6P_n}$ kleiner zijn dan $10^{-6}$ (als je de volgende decimaal nog niet weet; als je weet dat die $2$ is dan is kleiner dan $2\times10^{-6}$ goed genoeg). Dan moet je de ongelijkheid $\frac{30}{31n}$<$10^{-6}$ oplossen (dat geeft $n\ge967742$); voor die $n$ is het verschil zeker klein genoeg. Aan de andere kant, als je $\frac{60}{63(n+1)}$>$10^{-6}$ oplost ($n\le952380$) dan weet je wanneer het verschil zeker niet klein genoeg is. Ergens in het zo verkregen interval ligt dan het omslagpunt. Die getallen liggen nu in de buurt van een miljoen; bij kwadrateren komen we dan in de buurt van $10^{12}$ zorg dat Mathematica in 24 significante cijfers rekent (de vuistregel is dat op de achtergrond met twee keer zo veel significante cijfers gewerkt moet worden als in het antwoord gewenst zijn).

Naschrift: Maple berekent/benadert de som $P_n$ (voor grote $n$) niet door optellen maar met behulp van de $\Psi$-functie, zie onderstaande link. Met de volgende truc kun je forceren dat er echt opgeteld wordt:
$$
P_n=\sum_{k=1}^n\frac1{(n+1-k)^2}
$$(achterstevoren dus) in ieder geval `herkent' Maple zo niet de som en grijpt dan niet naar $\Psi$.
Zie Maple: Psi-functie

kphart

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
zondag 13 november 2016