\require{AMSmath}

Dit is een reactie op vraag 83145

Re: Vraagstuk stelsels

Bedankt, maar dit moet met matrices opgelost worden. Kunt mij daarbij helpen?

Imaad
3de graad ASO - donderdag 27 oktober 2016

Antwoord

Hallo Imaad,

Eerst definiëren we:

X=aantal Fransen,
Y=aantal Italianen
Z=aantal Nederlanders.

Nu gaan we de gegevens vertalen naar lineaire vergelijkingen.

1. Het aantal Nederlanders, Fransen en Italianen samen is 111. Wiskundig is dit:

X+Y+Z=111 (vergelijking 1)

2. Het aantal Nederlanders is twee keer zoveel als het aantal Fransen en Italianen samen. Wiskundig is dit:

Z=2(X+Y)
Z=2X+2Y

Dit vullen we in vergelijking 1 in:

X+Y+(2X+2Y)=111
3X+3Y+0Z=111 (vergelijking 2)

3. Na vertrek van 60 Nederlanders waren er 2 keer zoveel Fransen als Nederlanders samen. Wiskundig geformuleerd: na vertrek van die Nederlanders geldt:

Aantal Nederlanders=(Z-60)
Aantal Italianen=Y
Aantal Fransen=X=2((Z-60)+Y)

Deze laatste vergelijking schrijven we als:
X=2Y+2Z-120

Invullen in vergelijking 1:

(2Y+2Z-120) + Y + Z = 111
0X+3Y+3Z-120=111
0X+3Y+3Z=231 (vergelijking 3)

In matrixnotatie kunnen we de drie vergelijkingen noteren als:

( 1 1 1 | 111 ) 
( 3 3 0 | 111 ) 
( 0 3 3 | 231 )

Nu is het een kwestie van 'vegen' van deze matrix, zodat je krijgt:

( 1 0 0 | 34 ) 
( 0 1 0 |  3 ) 
( 0 0 1 | 74 )

Ofwel:

X=34
Y=3
Z=74

Het is wat omslachtiger dan de uitwerking van het vorige antwoord, maar als het met matrices moet, kan het dus wel .

GHvD
vrijdag 28 oktober 2016

©2001-2024 WisFaq