\require{AMSmath}

Dit is een reactie op vraag 82930

Re: Machtreeksen van standaardfuncties

Dag Tom,

Hoe easy, en ik kwam er echt niet uit!! Soms kan een hint toch wonderen doen!!!
In mijn boek staat onderstaande opgave. Heeft u enig idee wat de bedoeling hiervan is?

$$f(x) = \frac{1}{1-x} = \sum_{k=0}^{\infty} x^k = 1+x+x^2+x^3+\cdots$$ $$\int_0^x f(t) \, dt = \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k}x^k = - \ln|1-x|$$"Ga dit zelf na."

Alvast dank!

Lene
Leerling bovenbouw havo-vwo - dinsdag 20 september 2016

Antwoord

Beste Lene,

De opgave is nogal beknopt omschreven maar ik veronderstel dat je van de gegeven machtreeks (met gekende som) moet vertrekken om de onderste gelijkheid aan te tonen.

Je hebt in je cursus misschien gezien dat je een dergelijke machtreeks, waar deze convergeert, term-per-term mag integreren. Vertrek van:
$$\frac{1}{1-x} = 1+x+x^2+x^3+\cdots$$Integreren van het linkerlid levert $-\ln|1-x|$ en integreren van het rechterlid levert:
$$x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+\frac{x^4}{4}+\cdots = \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k}x^k$$Helpt dat?

mvg,
Tom

td
dinsdag 20 september 2016

Re: Re: Machtreeksen van standaardfuncties

©2001-2024 WisFaq