\require{AMSmath}

Dit is een reactie op vraag 77653

Re: Limiet

Een andere oplossing maakt gebruik van het feit dat (1+1/x)^x naar e nadert als x naar oneindig gaat.

Als je teller en noemer van de breuk die tussen haakjes staat door x² deelt krijg je (1+1/x+6/x²)/(1+2/x-8/x²). Laten we de meetkundige reeks los op de noemer, dan zien we dat dit gelijk is aan (1+1/x+6/x²)(1-2/x+12/x²+...), waarbij ... staat voor termen vanaf de derde graad. Werken we de haakjes uit, dan krijgen we voor de uitdrukking 'onder' de limiet (1-1/x+16/x²+...)^4x, en dat is volgens het bovengenoemde feit gelijk aan e^-4.

Dr P
Iets anders - woensdag 17 februari 2016

Antwoord

Tsja, en dan mag je uitleggen waarom je die hogere-orde termen ongestraft weg mag laten.
Je kunt deze weg wel bewandelen, maar dan iets voorzichtiger. Vermenigvuldig met en deel door $(1-\frac1x)^{4x}$, na wat gemanipuleer kom je uit op
$$
\left(1-\frac1x\right)^{4x}\cdot\left(1+\frac{16x-8}{x^3+x^2-10x+8}\right)^{4x}
$$De eerste factor heeft limiet $e^{-4}$ en de tweede heeft limiet $1$:
voor grote $x$ geldt
$$
1\le \left(1+\frac{16x-8}{x^3+x^2-10x+8}\right)^{4x} \le
\left(1-\frac{16}{x^2}\right)^{4x}
$$En $\lim_{x\to\infty}\left(1-\frac{16}{x^2}\right)^{4x}=1$, dus de insluitstelling doet de rest. Hierbij moet je toch weer even naar de $e$-macht en de logaritme en gebruiken dat $\lim_{u\to0}\frac1u\ln(1+u^2)=0$.

kphart
woensdag 17 februari 2016

©2001-2024 WisFaq