\require{AMSmath}

Algebra

Stel G een groep, en g een element van G. De afbeelding phi_g : G $\to$ G met phi_g(h)=ghg^-1, voor elke h in G.

Bewijs dat G een automorfisme is.

(Als er iets in de terminologie niet klopt, zeg het even.)

Ik weet dat ik moet bewijzen dat phi_g een bijectie is en dat hij een groepshomomorfisme is.

Bij het bewijzen dat het een bijectie is doe ik het volgende:
phi_g (a)=phi_g (b) $\to$ gag^-1=gbg^-1.

Nu moet ik bewijzen dat dit op a=b uitkomt, maar ik weet niet wat ik aanmoet met die g en g^-1. Ik mag niet zomaar zeggen dat dit 1 is, maar ik mag wel associativiteit van een groep gebruiken en zeggen dat gg^-1 de identiteit is (maar wat is de identitieit in dit geval dan?)

Hoe moet ik dit oplossen?

• Algebra

Ton
Leerling bovenbouw havo-vwo - woensdag 1 april 2015

Antwoord

Je weet niet dat de groep Abels is, dus je mag niet zomaar $gag^{-1}$ gelijk stellen aan $gg^{-1}a$, bijvoorbeeld.
Maar, je kunt $gag^{-1}$ en $gbg^{-1}$ eerst beide aan de rechterkant met $g$ vermenigvuldigen, dan krijg je $ga=gb$ en dan van links met $g^{-1}$ vermenigvuldigen geeft $\ldots$

kphart
woensdag 1 april 2015

Re: Algebra

©2001-2024 WisFaq