\require{AMSmath}

Complexe functie ontbinden in taylor series

Gevraagd wordt om de functie f(z)=¹/_z-5z+6² te schrijven in een taylor serie rond a=0 en het convergentie-interval te bepalen.
Ik heb deze functie via ontbinden in factoren eerst geschreven in de vorm f(z) = ¹/_z-3- ¹/_z-2.
Verder kunnen we met gebruik van de meetkundige rij schrijven:
¹/_z-3 = ¹/_z(1-3/z) = ¹/_z vermenigvuldigt met de som van x=0 tot oneindig van ^{3^n}/_z^n.
Oftewel ¹/_z-3 = som van x=0 tot oneindig van ^{3^n}/_z^(n+1).
Hetzelfde is te doen voor ¹/_z-3, waardoor f(z) = som n=0 tot oneindig van ^{(3^n-2^n)}/_z^(n+1) verkregen wordt.

Mijn probleem is nu: hoe is dit te schrijven als taylor series? Anders gezegd, de term z^(n+1) moet naar de teller i.p.v. de noemer, hoe krijg ik dit voor elkaar?

Alvast bedankt!

Donald
Student universiteit - maandag 10 november 2014

Antwoord

Doe het net andersom:
$$
\frac1{z-3}=\frac13\frac1{\frac z3-1} = -\frac13\frac1{1-\frac z3}
$$
(en idem met de andere breuk); maak er nu een meetkundige reeks van.

kphart
maandag 10 november 2014

Re: Complexe functie ontbinden in taylor series

©2001-2024 WisFaq