Maar het antwoord moet zijn: F(x) = -1/4 cos2x + C
Marcel
Leerling mbo - woensdag 31 augustus 2011
Antwoord
Beste Marcel,
Indien jij een primitieve bepaalt hoeft deze primitieve niet hetzelfde te zijn als de primitieve die ik heb bepaald. Als de primitieve na differentiëren maar weer de oorspronkelijke functie oplevert (primitiveren en differentiëren zijn elkaars inverse bewerking).
Indien je mijn vorige antwoord $\frac{1}{2} \cdot (\sin(x))^{2} + c$ differentieert, krijg je de oorspronkelijke functie, zijnde $f(x) = \sin(x) \cdot \cos(x)$ terug.
Als je jouw primitieve, zijnde $-\frac{1}{4} \cos(2x) +c$ differentieert, krijg je ook de oorspronkelijke functie terug, dus dat is eveneens een correcte primitieve.
De methode die ze waarschijnlijk gevolgd hebben om tot dat antwoord te komen, is de notie dat $\sin(2x) = 2 \cdot \sin(x) \cdot \cos(x)$ en dus is $\frac{1}{2} \sin(2x) = \sin(x) \cdot \cos(x)$. Dus $\int \sin(x) \cdot \cos(x) dx = \int \frac{1}{2} \cdot \sin(2x)dx = \frac{1}{2} \int \sin(2x)dx$. Om $\int \sin(2x)dx$ te bepalen, stel je $u(x) = 2x$, en dan is $\frac{du}{dx} = 2$ en dus $\frac{1}{2}du = dx$. Dan is $\frac{1}{2} \int \sin(2x)dx = \frac{1}{2} \int \sin(u) \cdot \frac{1}{2}du = \frac{1}{4} \int \sin(u) du = -\frac{1}{4} \cos(u) + c$ en na substitutie van $u(x) = 2x$ wordt de primitieve $-\frac{1}{4} \cos(2x) + c$.
Hopelijk is alles duidelijk, anders hoor ik het wel.
Dit is een reactie op vraag 65602 
