\require{AMSmath}

Dit is een reactie op vraag 63120

Re: Stijgend zijn van een functie

L.S.,

Mijn dank voor uw snelle reactie, maar........
Het tekenfoutje klopt; echter in mijn oorspronkelijke uitwerking staat het goed.
Twee regels voor het einde van uw antwoord stelt u dat -pcos(x)0. Niets is echter minder waar, op het gegeven interval is -pcos(x)0 zodat de erop volgende redenering ook niet klopt.
Dit vraagstuk is er kennelijk op gericht om leerlingen niet klakkeloos het kunstje f'(x) 0 te laten toepassen etc. sin2x + ppcosx + 2x klopt op het gehele interval. Inmiddels heb ik een andere aanpak bedacht. Zowel het linkerlid als het rechterlid zijn positief op het gegeven interval. Laten we aannemen dat sin2x + ppcosx + 2x NIET klopt, dan sin2x + ppcosx + 2x. Integratie van beide leden tussen 0 en ¹/₂p zou dan ook een waarheid op moeten leveren, maar dat blijkt onjuist! Conclusie, onze aanname is onjuist! Ergo, sin2x + ppcosx + 2x .
Klopt toch op deze manier?????
Degene die me dit vraagstuk toespeelde onthulde me gisterenavond dat het een olympiade vraagstuk was uit Engeland van midden zestiger jaren. Geen wonder dat het geen routinevraagstuk was en het me enige hoofdbrekens koste.

Met vriendelijke groet,

Math
Ouder - zondag 19 september 2010

Antwoord

Op het interval (0,p/2) definieren we
f(x)=(x-sin(x))(p-x-sin(x)).
Gevraagd wordt te bewijzen dat deze functie f op het gegeven interval stijgend is.

Oplossing:

Bereken f' en f".
Er komt f'(x) = (1-cos(x)(p-x-sin(x)) + (x-sin(x))(-1-cos(x)), dus f'(0)=0=f'(p/2).
Verder: f"(x) = sin(x)(p-4*sin(x)).
Aangezien de eerste factor op het beschouwde interval positief is, en de tweede factor op het beschouwde interval één nulpunt heeft, heeft f" op het beschouwde interval één nulpunt a.
Het tekenoverzicht van f" is dat van p-4*sin(x), dus f" is positief op (0,a) en negatief op (a,p/2).
Dus f' is stijgend op (0,a) en dalend op (a,p/2).
Aangezien f'(0)=0=f'(p/2) volgt (met continuïteit) dat f' een positief maximum heeft in a en positief is op het beschouwde interval.
Hieruit volgt dat f op het beschouwde interval stijgend is.

PS De ontkenning van "voor alle x geldt P(x)" is "er bestaat een x waarvoor P(x) niet geldt".

hr
donderdag 23 september 2010

©2001-2024 WisFaq