1.10.1 Opdracht. Bekijk een algemene vergelijking van graad twee ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0 in variabelen x en y met gehele coëfficiënten a, . . . , f. Toon aan dat als de vergelijking één oplossing heeft in rationale getallen, zij er dan oneindig veel heeft, als volgt. (a) Noem de gegeven rationale oplossing (x0, y0). Schrijf de vergelijking op van een rechte lijn Lt door (x0, y0) met hellingsgetal t, waarbij t een rationaal getal is. 40 (b) Toon aan dat het tweede snijpunt (x1, y1) van Lt met de oplossingen van de gegeven vergelijking ook een rationale oplossing is. Hint: je kan een formule voor x1 en y1 afleiden. Het kan ook korter als volgt. Laat het volgende zien: Stelling. Als ax2 + bx + c = 0 een vergelijking is met a, b, c rationale getallen, a 6= 0 en oplossingen x0 en x1, dan is x0 · x1 = c/a. Dit kan je zien door ax2 + bx + c = a(x − x0)(x − x1) te schrijven. (c) Toon nu aan dat er oneindig veel oplossingen zijn voor de oorspronkelijke vergelijking.
