Re: Re: Re: Singulariteiten en bepalen van residue
dank voor uw snel antwoord.
Ik begin alles door mekaar te sluiten. Ik vat even samen: dus je moet op het einde uw bekomen reeks herleiden tot een standaard reeks (in dit geval, die van de emacht) en dan moet je de a-1 coefficienten (dit gebeurt door voor n -1 in te vullen, maar omdat in dit geval geen n meer in te vullen is blijft het 1/2. klopt mijn redenering ?
dank voor de hulp alvast
AA
Student universiteit - zaterdag 14 november 2009
Antwoord
Beste AA,
Ik volg je redenering niet helemaal, waarom is er geen n in te vullen...? We zetten het even op een rijtje.
- Het residu in een geïsoleerd singulier punt a van een complexe functie f(z), is de coëfficiënt van de term in 1/(z-a) van de Laurentreeks van f.
- Voor ez heb je rond z = 0 de reeks
1 + z + z2/2 + z3/3! + ...
Voor e1/z wordt dit dus
1 + 1/z + 1/(2z2) + 1/(3!z3) + ...
Zodat tenslotte voor z.e1/z geldt
z + 1 + 1/(2z) + 1/(3!z2) + ...
Ik heb hier de eventuele verwarring met n vermeden door de reeks niet symbolisch i.f.v. n op te schrijven, maar dat kan je zelf even doen.
- In bovenstaande reeks voor z.e1/z is de term in 1/z gelijk aan 1/(2z), de coëfficient is dus 1/2, dit is het residu van z.e1/z in z = 0.
- Volgens de residustelling is de gezochte integraal gelijk aan 2pi keer de som van de residuen, maar hier heb je enkel het residu 1/2; dus pi.
Dit is een reactie op vraag 60770 
