Re: Alle punten berekenen die voldoen aan bepaalde voorwaarden!
Hallo Lieke,
Dat heb ik inderdaad al geprobeerd. Dan krijg ik oplossingen die op de lijn y = 4/3x liggen plus een aantal op de x-as en de y-as. Maar dan vraag ik me af. Zijn dat alle oplossingen. Ik krijg het bewijs niet netjes af. Maar in ieder geval bedankt.
Gr. Matt
Matt V
Student hbo - woensdag 4 november 2009
Antwoord
Helaas is het antwoord nee. Dat zijn niet alle punten. Buiten de lijn y=4/3x en een paar punten op de assen zijn er ook nog een aantal. Kies je bijvoorbeeld x=21 en y=-20 dan x2+y2=441+400=841=292 en (x-3)2+(y-4)2=182+(-24)2=900=302.
Deze punten zijn snijpunten van de cirkels x2+y2=s2 en (x-3)2+(y-4)2=t2 zodanig dat x en y geheel zijn.
Uitwerken van (x-3)2+(y-4)2=t2 levert: x2-6x+9+y2-8y+16=t2 Invullen van x2+y2=s2 levert -6x-8y+25+s2=t2 oftewel: 6x+8y=25+s2-t2
De roosterpunten die snijpunt zijn van de lijnenbundel 6x+8y=25+s2-t2 en x2+y2=s2 zijn ook oplossingen. Voor punten die iets verder wegliggen van de punten (0,0) en (3,4) zullen s en t weinig verschillen, zeg bijvoorbeeld |s-t|=1. Als |s-t|=1 dan is t=s+1 of t=s-1 zodat s2-t2 gelijk aan -2s-1 of 2s+1, zodat 6x+8y=25+s2-t2 dan overgaat in 6x+8y=24-2s of 6x+8y=26+2s. Roosterpunten op deze twee lijnen zijn eenvoudig te vinden, waarna je x2+y2=s2 kunt controleren.
Het voorbeeld x=21, y=-20 hoort bij 6x+8y=-34=24-58, dus s=29.
Dus als ik alle punten moet beschrijven dan krijg ik: 1) (x,y)=(3k,4k) 2) De roosterpunten die snijpunten zijn van x2+y2=s2 en 6x+8y=25+s2-t2. Deze tweede verzameling laat zich niet zo een twee drie eenvoudiger opschrijven.
Dit is een reactie op vraag 60629 
