Er is een omwentelingslichaam getekend van grafiek f(x) = x2 met domein [0,1] en deze wordt om de x-as gewenteld. Bereken de plaats van het zwaartepunt van dit omwentelingslichaam.
Moet je de formule M = K · d gebruiken?
Céline
Leerling bovenbouw havo-vwo - woensdag 15 april 2009
Antwoord
Hallo, Céline.
Je HOEFT die formule niet te gebruiken, want de bepaling van het zwaartepunt kan standaard worden uitgevoerd, als volgt:
1) Maak een parametervoorstelling van de rand van het lichaam. Hier wordt dat (x, x2cos(t), x2sin(t)), 0$\leq$x$\leq$1, 0$\leq$t$<$2$\pi$.
2) Bereken de massa van het lichaam bij massadichtheid 1. Dat is de integraal met integrand 1 over het lichaam. Hier wordt dat $\int{}$01$\int{}$-x2x2$\int{}$-x2sin(t)x2sin(t) dz dy dx (met y=x2cos(t) waarbij t loopt van $\pi$ naar 0) = $\pi$/5. Alternatieve berekening met poolcoördinaten: $\int{}$01$\int{}$02$\pi$$\int{}$0x2 r dr dj dx = $\pi$/5.
3) Bereken de coördinaten van het zwaartepunt. Dat is voor elke coördinaat de integraal over hetzelfde lichaam, maar nu met integrand x, resp y en z, ipv 1, en telkens gedeeld door de massa $\pi$/5. Dat wordt hier: x-coördinaat ($\pi$/6)/($\pi$/5) = 5/6; y-coördinaat 0/($\pi$/5) = 0; z-coördinaat 0/($\pi$/5) = 0.
Dat hier de laatste twee coördinaten 0 zijn, is trouwens meteen duidelijk vanwege de symmetrie in het omwentelingslichaam.
NASCHRIFT: misschien voel je er nu toch voor, gewoon de formule toe te passen die je noemt, en die geldt voor omwentelingslichamen: d = M/K = $\int{}$01 $\pi$xy2 dx / $\int{}$01 $\pi$y2 dx, met y = x2. Reken zelf na dat d = 5/6.
Re: Zwaartepunt 