Vergelijking vlak bepalen met gegeven afstand tot punt
Bepaal de vergelijking van een vlak dat door de rechte a x+y-z=3 en x+2y+7z+6=0 gaat en op een afstand 2 van het punt (1,1,1) gelegen is. Heb wel al een punt en richting van de rechte nl punt(12,-9,0) en richting (9,-8,1) en weet (u+v+w+t)/Ö(u2+v2+w2)=2 maar hoe vind ik de tweede richting hiermee van het vlak om de vergelijking op te stellen. Of moet dit op een andere manier?
Vannes
3de graad ASO - maandag 16 maart 2009
Antwoord
Beste Diana,
Het zou handig zijn als we zelf een tweede richtingsvector kunnen voorstellen die slechts van één onbekende afhangt. We kunnen dan immers de cartesische vergelijking van het vlak door de rechte opstellen, met als parameter die onbekende. Toepassen van die afstandsformule levert dan een vergelijking in die parameter die je kan oplossen.
Als tweede richting kunnen we een richting loodrecht op de gegeven richting voorstellen, elke richting in het loodvlak op de gegeven richting is goed. Loodrecht op (9,-8,1) kan je bijvoorbeeld (1,p,8p-9) voorstellen want (9,-8,1).(1,p,8p-9) = 0 (scalair product). Je kan nu de cartesische vergelijking opstellen van het vlak door je gevonden punt en met deze twee richtingsvectoren (bijvoorbeeld met een determinant).
Voor elke waarde van p, heb je hiermee een vlak dat de gegeven rechte alvast bevat. Gebruik nu je afstandsformule om uit te drukken dat de afstand van (1,1,1) tot het vlak 2 moet zijn, dit is een voorwaarde op p. Oplossen naar p levert, als ik het goed heb, twee mogelijkheden.
Collega dk brengt nog een andere mogelijkheid aan, als je vlakkenwaaiers gezien hebt. De vlakkenwaaier door deze rechte wordt gegeven door
(x + 2y + 7z + 6) + k(x + y - z - 3) = 0
Hiermee kan je een afstandsformule (zoek eventueel eens op Hesse-normaalvorm) opstellen, eisen dat de afstand tot (1,1,1) gelijk is aan 2 en oplossen naar k.
Re: Vergelijking vlak bepalen met gegeven afstand tot punt 