\require{AMSmath}

Veeltermfunctie en parameter

gegeven is de functie: Fp(x)=x⁴ -4x³ +px²
nou moet ik 2 dingen oplossen:
- voor welke waarde van p heeft Fp precies 3 extremen
-de lijn y=mx en de grafiek F4 (p=4) hebben precies 3 punten gemeenschappelijk. bereken m

bij de 1e bereken ik F(p)' uit: 4x³ -12x² +2px =0
en stel ik gelijk aan 0.
ik weet alleen niet hoe ik dit verder moet uitwerken.
het antwoord moet zijn: x=0 V x= (6±Ö(36-8p)) / 8
geen flauw idee hoe ik daaraan moet komen.

bij de 2e stel ik y=mx y'=m -- x⁴-4x³+4x²=x(4x³-12x²+8x) daaruit volgt: -4x⁴+8x³-4x²=0
vervolgens via staartdeling kom ik uit op:
-4x³-4x² dit moet ik dan nog verder uitwerken, maar ik weet niet zo goed hoe.
het antwoord moet zijn: x=0 V x=(2/3) V x=2 daaruit volgt m=(64/81)

alvast bedankt.

kate
Leerling bovenbouw havo-vwo - zaterdag 22 september 2007

Antwoord

1)
De vergelijking F '(x)=0 moet dus drie verschillende oplossingen hebben.
Bekijk nu eens de vergelijking die daaruit volgt:
4x³-12x²+2px=0.
Om te beginnen kun je een factor 2x buiten haakjes halen:
2x(2x²-6x+p)=0
De x-waarde van een van de extremen is dus x=0.
De resterende vergelijking 2x²-6x+p=0 moet dus 2 oplossingen (ongelijk aan 0) hebben.
Omdat dit een tweedegraads vergelijking is kun je de discriminant van deze vergelijking uitrekenen. D="b²-4ac"=36-8p. De vergelijking 2x²-6x+p=0 heeft dus twee oplossingen als 36-8p0, dus 8p36, dus p4¹/₂. (en dat is dus het antwoord op de vraag) (de x-waarden van de extremen zijn dan inderdaad de door jou gegeven x-waarden).

2)Ik begrijp niet zo goed wat je hier doet:
Je stelt f(x) gelijk aan x*f'(x). Dat zou de aanpak zijn als je raaklijnen door de oorsprong zou willen vinden. Maar er staat toch nergens dat de het om een raaklijn gaat? Ten tweede zie ik niet hoe uit x⁴-4x³+4x²=x(4x³-12x²+8x) volgt dat -4x⁴+8x³-4x²=0.

Laten we gewoon eens bij het begin beginnen:
De vergelijking x⁴-4x³+4x²=mx moet 3 oplossingen hebben.
Om te beginnen kun je dit schrijven als x(x³-4x²+4x)=mx oftewel
x=0 of x³-4x²+4x=m.
Een snijpunt heb je dus al: x=0.
Dus de vergelijking x³-4x²+4x=m moet precies 2 oplossingen (ongelijk aan 0) hebben).
Je hebt nu een derdegraadsvergelijking, dus de discriminant kun je niet gebruiken.

In onderstaand plaatje heb ik de grafiek van het linkerlid: x³-4x²+4x getekend en een aantal lijnen y=m.

De enige twee plekken waar de lijn y=m twee snijpunten heeft met deze grafiek is in de toppen van x³-4x²+4x.
We gaan nu dus de toppen van x³-4x²+4x uitrekenen.
afgeleide: 3x²-8x+4
nul stellen: 3x²-8x+4=0

oplossen: x=(8±Ö(64-48))/6=(8±4)/6=2. Dus x=2 of x=2/3.
De extremen zijn dan y=0 of y=32/27
Dus m zou 0 of 32/27 kunnen zijn.
Maar m=0 levert geen drie snijpunten op immers de vergelijking x⁴-4x³+4x²=0 levert: x²(x²-4x+4)=0, dus x²(x-2)²=0, dus alleen x=0 en x=2.
Blijft over m=32/27. (en volgens mij niet m=64/81)

hk
zaterdag 22 september 2007

Re: Veeltermfunctie en parameter

©2001-2024 WisFaq