en dit is een differentiaalvergelijking waar je relatief makkelijk wat mee kan. De algemene oplossing is namelijk: q(t)=A.sin(w.t)+B.cos(w.t) met w=Ö(g/L)"
Maar hoe kom je hier nou precies aan?
Alvast hartelijke dank, Steffen
Steffe
Leerling bovenbouw havo-vwo - maandag 12 maart 2007
Antwoord
Beste Steffen,
Laten we eerst eens naar een eenvoudige versie kijken van deze 2e orde dv. (2e-orde omdat er ten hoogste een 2e afgeleide in voorkomt)
bijvoorbeeld d2y/dx2 + y = 0
welke oplossingen y(x) voldoen aan deze dv? Dat blijkt ten eerste te zijn: y=sinx. want als je dit invult in de dv, dan krijg je -sinx +sinx =0 en welke eveneens voldoet, is y=cosx. immers: invullen levert -cosx +cosx=0
Wat ook een oplossing is, is y=A.sinx+B.cosx Want vul deze oplossing maar eens in. differentieer je y 2 keer, dan krijg je -A.sinx -B.cosx. Dus krijg je -A.sinx -B.cosx +A.sinx +B.cosx = 0. klopt dus ook.
Nou nemen we een dv die als 2 druppels water op de vorige lijkt. namelijk: d2y/dx2 + k.y = 0 Nu staat er opeens een factor k voor de y. Wat zijn nu de oplossingen? Het blijkt dat één van de oplossingen is: y=sin(Ök.x) Als je dit 1x differentiëert, krijg je dy/dx=Ök.cos(Ök.x) nogmaals differentiëren, levert: d2y/dx2=-Ök.Ök.sin(Ök.x) = -k.sin(Ök.x) oftewel: wanneer je de oplossing y=sin(Ök.x) invult in de dv, krijg je -k.sin(Ök.x) +k.sin(Ök.x) = 0
Evenzo voor y=cos(Ök.x)
De algemene oplossing is y=A.sin(Ök.x)+B.cos(Ök.x) Vul dit zelf maar eens in in de dv en ckeck zelf dat deze oplossing voldoet.
Tot slot de dv waar je vraag over ging: d2q/dt2+ g/L.q=0 Het gaat erom om een oplossing q(t) te vinden. Als je deze dv vergelijkt met d2y/dx2 + k.y = 0 dan kun je nu begrijpen waarom q(t)=A.sin(Ö(g/L).t)+B.cos(Ö(g/L).t)
Dit is een reactie op vraag 37032 
