\require{AMSmath}

Mathematische slinger

Hallo,

Ik kan niet veel informatie vinden over de mathematische slinger die geschikt is voor een "beginner". Weet iemand hier goede websites/documenten over? Bij voorkeur Nederlands, maar Engels kan natuurlijk ook.

Ik heb dit nodig voor mijn praktische opdracht over complexe getallen (toepassing op differentiaalrekening).

Hartelijk dank,

Britt
Leerling bovenbouw havo-vwo - woensdag 20 april 2005

Antwoord

Je kunt zoeken op 'simple pendulum' voor allerhande uitleg over de mathematische slinger.
Maar voor de volledigheid zal ik je de afleiding geven.
(het ontgaat me overigens waarvoor je complexe getallen nodig hebt want je kunt de hele mathematische slinger 'reëel' behandelen)

We gaan uit van de volgende situatie:



Een puntmassa hangt aan een massaloos en wrijvingsloos koord, en dat koord maakt een uitwijking van hoek $\theta$ met de verticaal.

Feitelijk werken er nu twee krachten op de puntmassa:
a. de spankracht in het koord (gericht langs het koord richting P)
b. de zwaartekracht (gericht verticaal naar beneden.

Nu gaan we de krachten wat nader bekijken:
De zwaartekracht F_z=m.g kan ontbonden worden in een component parallel aan het koord (m.g.cos$\theta$) en een component loodrecht op het koord (m.g.sin$\theta$)
Omdat de massa in rust is in de richting M-P (het koord kan niet uitrekken) is er een krachtenevenwicht tussen F_span en m.g.cos$\theta$;
In de richting loodrecht op het koord is er geen krachtenevenwicht, dus dat is de richting waarin de massa zal gaan versnellen.
voor die richting geldt: F=m.a

De massa zal een pad doorlopen dat een deel van een cirkel is, een cirkel met straal L. (de lengte van het koord)
Nu geldt voor de afgelegde weg s van de massa dat
s=L.$\theta$
v=ds/dt=L.d$\theta$/dt
a=d²s/dt²=L.d²$\theta$/dt²

nu gaan we alle ingrediënten invullen in F=m.a :

-m.g.sin$\theta$ = m.L.d²$\theta$/dt²
(het minteken volgt uit het feit dat als $\theta$ positief is (naar rechts) dat dan de kracht de tegenovergestelde richting op wijst (naar links))

hieruit volgt: d²$\theta$/dt² + g/L.sin$\theta$=0

nou geldt voor kleine hoeken ($\theta$in radialen!) dat sin$\theta$ ongeveer gelijk is aan $\theta$. Dit levert:
d²$\theta$/dt² + g/L.$\theta$=0

en dit is een differentiaalvergelijking waar je relatief makkelijk wat mee kan.
De algemene oplossing is namelijk:
$\theta$(t)=A.sin($\omega$.t)+B.cos($\omega$.t) met $\omega$=√(g/L)

de uiteindelijke oplossing hangt af van de randvoorwaarden.
Gangbaar is te stellen dat op t=0 geldt:
· $\theta$ = $\theta$₀ en
· d$\theta$/dt = 0 (dwz in rust op t=0)

uit de 2e voorwaarde volgt: A=0, dus hou je over
$\theta$(t)=B.cos($\omega$.t)
en dan volgt mbv de eerste voorwaarde dat B=$\theta$₀

$\Rightarrow$ $\theta$(t)=$\theta$₀.cos($\omega$.t)

groeten,
martijn

mg
woensdag 20 april 2005

Re: Mathematische slinger

©2001-2024 WisFaq