\require{AMSmath}

Dit is een reactie op vraag 14968

Re: Bewijs door contrapositie

Kan er daar ook een tekening bij gemaakt worden?

jop
3de graad ASO - zondag 17 december 2006

Antwoord

En onderstaand een plaatje...

Te bewijzen:
(A) de lijn m raakt in P aan de cirkel (middelpunt O, straal r) $\Rightarrow$ (B) OP $\bot$ m.

Bewijs (door logische omkering):
Stel OP staat niet loodrecht op m ($\neg$B), dan is er een lijn door O die wèl loodrecht staat op m, en wel in een punt Q op m (dat verschilt van P). Driehoek OPQ is dan rechthoekig in Q, zodat OP $>$ OQ.
Met andere woorden OQ $<$ r. Dus Q ligt binnen de cirkel. De lijn m gaat door Q, dus m is geen raaklijn ($\neg$A).
We hebben bewezen: $\neg$B $\Rightarrow$ $\neg$A.
Volgens de wet van de contrapositie is dan ook A $\Rightarrow$ B (waar).

dk
maandag 18 december 2006

©2001-2024 WisFaq