\require{AMSmath}

Bewijs formule

F(1)² + F(2)² + ... + F(n)² = F(n)· F(n+1)

We bewijzen deze formule met de methode voor volledige inductie.

Stap 1: We nemen k=1.
F(1)2 = F(1)· F(1+1)
1 = 1· 1
1 = 1 → De formule klopt voor de laagst mogelijke k

Stap 2: We nemen nu aan dat de formule voor elke n geldt, en bewijzen nu dat de formule ook geldt voor n+1.

F(1)2 + F(2)² + ... + F(n)2 +F(n+1)² = F(n)· F(n+1) + F(n+1)²

en toen liep ik vast... Wie helpt me eruit?

Dankuwel!

Klaas-
Leerling bovenbouw havo-vwo - donderdag 5 januari 2006

Antwoord

Beste Klaas-Jan,

Als het voor n waar is, dan geldt:
F(1)² + F(2)² + ... + F(n)² = F(n)F(n+1)

Voor n+1 wordt de te bewijzen gelijkheid dan:
F(1)² + F(2)² + ... + F(n)² + F(n+1)² = F(n+1)F(n+2)

We mogen er nu van uit gaan dat het klopt voor n, dus in het linkerlid is er dan in het totaal F(n+1)² bijgekomen. Als we kunnen aantonen dat dit ook de toename is in het rechterlid, dan is het bewezen. De toename in het rechterlid is gelijk aan: F(n+1)F(n+2) - F(n)F(n+1). Breng nu de gemeenschappelijke factor F(n+1) buiten haakjes en probeer dan binnen de haakjes de (recursieve) definitie van Fibonacci te gebruiken.

mvg,
Tom

td
donderdag 5 januari 2006

©2001-2024 WisFaq