\require{AMSmath}

Dit is een reactie op vraag 41630

Re: Limiet cirkel

Hoi,

ik heb een vraag over de lijnen w=0 en w=pi, hoe zien ze er in het vlak uit (vormen ze de x-as)?Want r'=0 op deze lijnen, dus r=c voor een zekere constante c.Maar r=c is een cirkel.
Of zijn w=0 en w=pi nullclines?Wat bedoel je precies met dat de oplossingen die lijnen kruisen.

Groetjes,
viky

viky
Student hbo - maandag 28 november 2005

Antwoord

De (half)lijn w=0 is de positieve x-as en w=pi beschrijft de negatieve x-as. Het lijkt me nuttig dat je je nog eens goed realiseert wat een oplossing van zo'n stelsel is: een functie t-(x(t),y(t)) (of, zo je wilt een paar functies x en y) die voor elke t aan het stelsel voldoen. Zo'n functie beschrijft een kromme in het vlak en als ik zeg dat een oplossing een lijn kruist (of snijdt) dan bedoel ik dat de kromme die lijn snijdt. Verder kun je ook in poolcoordinaten werken en dus x(t)=r(t)*cos(w(t)) en y(t)=r(t)*sin(w(t)) schrijven, de functies r en w voldoen aan het stelsel dat eerder is afgeleid. Aan het gedrag van r en w kun je het gedrag van x en y aflezen en omgekeerd. Alleen voor de t met w(t)=0 of w(t)=pi geldt r'(t)=0; dat is niet op een heel interval, dus de conclusie dat r constant is is op niets gebaseerd. Als je naar de vergelijking voor w' kijkt zul je zien dat w' altijd negatief is; dus w(t) is een dalende functie en dat betekent dat (x(t),y(t)) met de klok mee om de oorsprong draait. Een oplossing loopt dus van boven naar beneden door de positieve x-as heen. Voor en na het snijden is r' positief en alleen op het moment van snijden geldt r'(t)=0; voor r betekent dit dat r altijd stijgend is en voor (x(t),y(t)) betekent dit dat het zich steeds verder van de oorsprong af beweegt: dit betekent dat een limiet-cykel onmogelijk is.
(w=0 en w=pi zijn inderdaad nullclines voor r; maar ook voor x: daar lopen de oplossingen verticaal en dus geldt dan x'=0.

kphart
maandag 5 december 2005

©2001-2024 WisFaq